随机数据处理方法答案第五章

1习题五1.在总体)3.6,52(~2NX中随机抽取一长度为36的样本，求样本均值X落50.8到53.8之间的概率。解：由于)/,(~2nNX，所以)363.6528.50()363.6528.53(}8.538.50{22XP)1429.1()7143.1(=0.9564+0.8729-1=0.82932.在总体)20,8(~2NX中随机抽取一长度为100的样本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大3的概率是多少？解：由于)4,8()/,(~2NnNX，所以}5.128{1}5.128{}38{XPXPXP1336.0))5.1(1(23．设nXXX,,,21为来自总体)(~PX的一个样本，X、2S分别为样本均值和样本方差。求XD及2ES。分析：此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体期望、总体方差的关系，显然应由定理5-1来解决这一问题。解：由题设nXXX,,,21为来自总体)(~PX的一个样本知,,EXDX且,,1,2,,.iiEXDXin而X、2S分别为样本均值和样本方差，则由定理5-1得2,.DXDXESnn4．设4321XXXX，，，是来自正态总体)30(2，N的随机样本，243221)32()2(XXbXXaX。试确定a、b使统计量X服从2分布，并指出其自由度。分析：依题意，要使统计量X服从2分布，则必需使)2(212/1XXa及)32(432/1XXb服从标准正态分布。由相互独立的正态随机变量的性质知2))369(0(~)2(212/1aaNXXa，，从而解得a1/45。同理得b1/117。5．设X和Y独立同分布N()032，，921XXX，，，和921YYY，，，分别是来自X和Y的简单抽样，试确定统计量UXXYY191292所服从的分布。解：UXXYY191292（）（）XXYY191292333999//////~()t96．设随机变量~()Xtn(1)n，试确定统计量21YX所服从的分布。分析：先由t分布的定义知nVUX，其中)(~),1,0(~2nVNU，再将其代入21XY，然后利用F分布的定义即可。解：由题设知，nVUX，其中)(~),1,0(~2nVNU，于是21XY=122UnVUnV，这里)1(~22U，根据F分布的定义知)1,(~12nFXY。7.设总体X服从正态分布)2,0(2N，而1521,,,XXX是来自总体X的简单随机样本，试确定随机变量)(221521121021XXXXY所服从的分布。解：由于)10(~10/)4/4/(221021XX，)5(~5/)4/4/(2215211XX)(221521121021XXXXY5/)4/4/(10/)4/4/(21521121021XXXX故)5,10(~)(221521121021FXXXXY8．设nXXX,,,21为来自正态总体),(~2NX的一个样本，已知，求2的极大似然估计。解：设nxxx,,,21为样本XXXn12，，，的一组观察值。则似然函数为nixieL12)(22221)，（3()122212221nxeiin，两边取对数，得lnln()Lnxiin22122221，两边对参数2求偏导数，并令niixnL124220)(21222ln解方程组得2211nxiin()，故2的极大似然估计为niixn122)(1ˆ。9．设)1,(~NX，nXXX,,,21为来自正态总体X的一个样本，试求的极大似然估计及矩估计。分析：矩估计法和极大似然估计法是点估计的两种常用方法，所谓矩估计法就是用样本的某种矩作为总体的相应矩的估计，因此需要首先计算（或已知）总体的某（几）种矩，由于本题只涉及一个未知参数，故只要知道总体的某一种矩即可。极大似然估计可依据四个步骤来完成，其关键是正确构造似然函数。解：（1）设12,,,nxxx为样本nXXX,,,21的一组观察值，则有2()21(,)2ixifxe，从而其似然函数为21()2121()(,)(2)niixniniLfxe。两边取对数，得21()ln()ln222niixnL,4两边对参数求导，并令ln()0L，有11()0nniiiixxn，从而，得11niixn，因此的极大似然估计为11ˆniiXn。（2）由于总体)1,(~NX，从而有EX，令X，可解得的矩估计为ˆX。10．设nXXX,,,21为来自正态总体的一个样本，求下述各总体的密度函数中的未知参数的矩估计及极大似然估计。（1）,,0,10,)1(),(其它xxxf其中1为未知参数。（2）,0,0,0,),(1xxeaxxfaxa其中为未知参数，0a为常数。（3）,,0,0,)(222/2其它xexxfx其中,,0为未知参数。分析：矩估计法和极大似然估计法是点估计的两种常用方法，所谓矩估计法就是用样本的某种矩作为总体的相应矩的估计，因此需要首先计算（或已知）总体的某（几）种矩，由于本例只涉及一个未知参数，故只要知道总体的某一种矩即可。极大似然估计可依据内容提要中的四个步骤来完成，其关键是正确构造似然函数。解：（1）矩估计：由于EXxfxdxxdx()()1121015设XnXiin11为样本均值，令12X，解得未知参数的矩估计量为211XX。极大似然估计：设xxxn12，，，为XXXn12，，，观测值，构造似然函数Lxiin()()11()()11niinxlnln()lnLnxiin11令dLdnxiinlnln101解得的极大似然估计量为ln11nXiin。（2）矩估计：0()aaxEXxfxdxaxedx令111111,,aaaaaxtxtdxtdta11110111(1)()taaaaEXtedtaaa设XnXiin11为样本均值，令111()aXaa，解得未知参数的矩估计量为1()ˆaaaaaX。极大似然估计：设xxxn12，，，为XXXn12，，，观测值，构造似然函数niaixnnixainiixeaeaxxfLniaiai111111)(),(）（niainiaixxanL111ln)ln(ln6令dLdln0，解得01niaixn，因此的极大似然估计为niaiXn1ˆ。（3）矩估计dxexxEXx02/222222/0xdex2令XEX2,解得2ˆX。极大似然估计:构造似然函数nixiiexL12/222)(nixiniex12/2221niiniinxxL122122lnlnln令01/2ln123niixndLd解得niixn1221ˆ11．设nXXX，，，21为总体X的一个样本，且X服从几何分布，即,3,2,1,)1(}{1kppkXPk，求p的极大似然估计量。解：设xxxn12，，，为XXXn12，，，观测值，构造似然函数111()(,)(1)innxiiiLppxpppnxnniipp1)1()1ln()(lnln1pnxpnLnii7pnxpndpLdnii1ln1令dLdpln0，解得Xp/1，因此p的极大似然估计为pX/112．设XXXn12，，，为总体X的一个样本，且X服从参数为pm,的二项分布，求p的极大似然估计量。解：设xxxn12，，，为XXXn12，，，观测值，则构造似然函数nixmxxmniiiiippCpxppL11)1(),()（niiniiixnmxnixmppC11)1(1)1ln()(lnlnln11pxnmxpCLniiniixmipxnmpxdpLdniinii1ln11令dLdpln0，解得mxnpnii/11，因此p的极大似然估计量为pmX/13．设nXXX，，，21为来自总体X的一个样本，且EX存在，问统计量（1）、（2）是否为的无偏估计。（1）521524XXX；（2）1211(234)10nnXXXX。解：（1）由于3)524(521XXXE所以521524XXX不是的无偏估计；（2）)432(101121nnXXXXE所以1211(234)10nnXXXX是的无偏估计；814．设总体X服从),(2N，321XXX，，为来自总体X的一个样本，试问统计量（1）、（2）、（3）是否为的无偏估计，并从无偏估计中找出较好的一个。（1）3211412141ˆXXX；（2）32121214132ˆXXX；（3）32132110351ˆXXX。解：（1）由于)412141(ˆ3211XXXEE所以3211412141ˆXXX是的无偏估计；（2）)1214132(ˆ3212XXXEE所以32121214132ˆXXX是的无偏估计。（3）)2110351(ˆ3213XXXEE所以32132110351ˆXXX是的无偏估计。而2321183)412141(ˆXXXDD；232127237)1214132(ˆXXXDD；2321310038)2110351(ˆXXXDD。显然22272371003883，故3211412141ˆXXX较好。15．设某种元件的使用寿命X的概率密度为xxexfx，，02);()(2，其中0为未知参数。又设nxxx，，，21是X的一组样本观察值，求的极大似然估计值。解:构造似然函数)(212)(ixnieLniixne1)(22niixnL1)(22lnlnndLd2ln(与参数无关)9由条件，当x时，)(22)(xexf(0)，所以当),,,min(21nxxx时，似然函数L取得最大值，从而知),,,min(ˆ21nxxx。16．设总体X的概率分布为X0123P2)1(2221其中)210(是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估计值和极大似然估计值。解：43)21(32)1(21022EX2)32130313(81x令xEX，即243，解得的矩估计值为4/1ˆ。对于给定的样本值，似然函数为426)21()1(4)(L)21ln(4)1ln(2ln64ln)(lnL)21)(1(24286218126)(ln2dLd令0)(lndLd，解得121372,1因2112137不合题意，所以的极大似然估计