量子力学导论第6章答案

1第六章中心力场6.1)利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量21121pmpmMrp（1）总动量21ppRMP（2）总轨迹角动量prPRprprLLL221121（3）总动能222222222121pMPmpmpT（4）反之，有,11rmRrrmRr22（5）pPmp21，pPmp12（6）以上各式中，212121,mmmmmmM证：212211mmrmrmR，（17）21rrr，（18）相对动量21122121211pmpmMrrmmmmrp（1’）总动量2121221121ppmmrmrmmmRMP（2’）总轨迹角动量221121prprLLL)5(2211prmuRprmuR2112211pmpmMrppR)2)(1(prPR由（17）、(18)可解出21,rr，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。总动能22112262221212222mpPmmpPmmpmpT2122222122112222122222mmpPumpPmmummpPumpPmmu22122221222211112122mmpPmmmPmmm2222pMP（4’）［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.2)同上题，求坐标表象中p、P和L的算术表示式ripRiP，prPRL解：211221121rrmmMipmpmMp（1）其中1111zkyjxir，而xXMmxxxXxXx1111，同理，yYMmy11zZMmz11；（利用上题（17）（18）式。）1rrRMm1；仿此可设2rrRMm1（2）代入（1）中，得rRrRmMmmmMmmMip121221ri（3）2121rrippP)2(Ri（4）prPRL只要将（3）、（4）式中的p、P以相应的算符代入即可。6.3）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱：（a）电子偶素（positronium，指ee束缚体系）（b）u原子（muonicatom）（c）u子偶素（muonium，指uu束缚体系）解：由氢原子光谱理论，能级表达式为：322412nueEn,pepemmmmu。（a）电子偶素能级22414nueEn，（2eeeeemmmmmu）（b）u原子能级22412neuEun，（pupuummmmu）（c）u子偶素能级22414nemEun，（2uuuuummmmmu）6.4）对于氢原子基态，计算px。解：*在求坐标系中，空间反演：rr（,,rr）。氢原子基态波函数为021301001area（1）宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以0,0xpx（2）由于100各向同性，呈球对称分布，显然有222222223131pppprzyxzyx（3）容易算出drr210022ddrdreararsin10230203a（4）2pd10021002d1001001001002d21002ddrdrrsin21002202a（5）因此2x20a，022axxx（6）20223apx，0223apppxxx（7）3xpx（8）测不准关系的普遍结论是2xpx（9）显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且3很接近式（9）规定的下限2。46.5）对于氢原子基态，求电子处于经典禁区ar2（即0VE）的几率。解：氢原子基态波函数为area2131001，22uea，相应的能量aeueE222241动能reaeVErT22120VET是经典不允许区。由上式解出为ar2。因此，电子处于经典不允许区的几率为aardddrreap2020223sin1（令ar2）423324deaa2381.0134e6.6）对于类氢原子（核电荷Ze）的“圆轨迹”（指1,0nlnr的轨迹），计算（a）最可几半径；（b）平均半径；（c）涨落2122rrr解：类氢原子中电子波函数nlm可以表示为,1,lmlnlmlnnlmYrurYrRrr（1）（a）最可几半径由径向几率分布的极值条件0rudrdlnr（2）决定。1nl时，0rn。naZrnneCrru1,0代入（2）式，容易求得Zanr02几（4）这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。（b）在nlm态下，各r之间有递推关系（Kramers公式）01241212222212rZalrZarrn(5)（参钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197）在（5）式中令0，注意到10r。可设5anZrnlm21(6)依次再取2,1，得到aZllnrnlm13212)1(22nlaZnn（7）（c）222213512aZllnnrnlm)1(22121nlaZnnn（8）因此，r的涨落2122rrrZann4223（9）121222nnnnrr（10）可见，n越大，rr越小，量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。6.7）设电荷为Ze的原子核突然发生衰变，核电荷变成eZ1，求衰变前原子Z中一个K电子（s1轨迹上的电子）在衰变后仍然保持在新的原子1Z的K轨迹的几率。解：由于原子核的衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还来不及变化。对于原来的K电子，其波函数仍未aZreaZrZ213100,（1）而新原子中K电子的波函数应为arZeaZrZ121331001,1（2）将rZ,100按新原子的能量本征态作线形展开：rZCrZnlmnlmnlm,,100（3）则衰变前的s1电子在衰变后处于新原子的rZnlm,1态的几率为210021ZZCpnlmnlmnlm（4）因此，本题所求的几率为100p2212262332100100411drreaZZZZarZ66363321111211ZZZZZ（5）展开时保留到第三项当1Z，上式可近似取成2100431Zp（5’）例如，10Z,9932.0100p；30Z,9992.0100p。6.8）设碱金属原子中的价电子所受电子实（原子核+满壳电子）的作用近似表为222raererV（10）（1）a为Bohr半径，求价电子的能级。提示：令121''llll，解出212'12812121lll解：取守恒量完全集为zLLH,,2，其共同本征函数为,,,lmYrRr,lmYrru（2）ru满足径向方程Euuraereurlluu222222212（3）令121''llll（4）式（3）就可以化为Euureurlluu222''2212（3’）相当于氢原子径向方程中l换成'l。所以式（3’）的求解过程完全类似于氢原子问题。后者能级为aneEn222，1lnnr，,2,1,0rn（5）将l换成'l，即得价电子的能级：aneEnl2'22，1''lnnr（6）通常令lll'（7）1'lrlnnln（8）7l称为量子数l和n的“修正数”。由于1，可以对式（4）作如下近似处理：121''llll1llll2121lllll略去2l，即得21ll（9）由于1，1l，因此，本题所得能级nlE和氢原子能级仅有较小的差别，但是能级的“l简并”已经消除。式（6）和碱金属光谱的实验资料大体一致，尤其是，修正数l随l之升高而减小，这一点和实验符合的极好。式（4）的精确解为212'12812121lll（10）若对上式作二项式展开，保留项，略去2以上各项，即可得到式（9）。6.9）在二维谐振子势222121,yKxKyxVyx中的粒子，求解其能量本正值。对于二维各向同性（KKKyx）的谐振子，求能级的简并度。（参书卷ⅠP302-303）解：8