高一数学必修1课件单调性与最大(小)值+第1课时+函数的单调性+精讲优练课型

1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性【知识提炼】1.增函数与减函数的相关概念f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)2.函数的单调性及单调区间增函数或减函数单调性区间D【即时小测】1.思考下列问题:(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗?提示:并不是所有函数在定义域上都是单调的,如函数f(x)=1,x∈R在定义域上就不是单调的.(2)增、减函数定义中的“任意x1,x2∈D”可否改为“存在x1,x2∈D”?提示:不能改,如函数f(x)=x2中,虽然f(-1)f(2),但该函数在定义域上不是单调函数.(3)函数f(x)在实数集R上是增函数,则f(1)f(4)成立吗?提示:成立.由于函数在R上是增函数,且14,故f(1)f(4).2.函数y=-x2的单调递减区间为()A.(-∞,0]B.(0,+∞)C.(-∞,+∞)D.不存在【解析】选B.画出函数y=-x2的图象,由图象可知函数y=-x2的单调递减区间为(0,+∞).3.若y=(2k-1)x+b是R上的减函数,则有()A.kB.k-C.kD.k-【解析】选C.若y=(2k-1)x+b是R上的减函数,则必有2k-10,所以k121212121.24.若函数f(x)在R上是增函数,且f(a)f(b),则a与b的大小关系是.【解析】因为f(x)在R上是增函数,所以当f(a)f(b)时,有ab.答案:ab5.如图所示为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,则函数f(x)的单调递增区间是.【解析】结合单调递增函数的概念及单调区间的概念可知,此函数的单调递增区间是[-4,-2],[4,7].答案:[-4,-2],[4,7]【知识探究】知识点函数的单调性与单调区间观察图形,回答下列问题:问题1:上面四个图象从左到右的变化趋势分别是什么?它们的变化趋势是否相同?问题2:能否说f(x)=在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数?1x【总结提升】1.对增函数、减函数概念的三点说明(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域不同区间内可以有不同的单调性,即单调性是函数的一个“局部”性质.(2)定义中的x1和x2有如下三个特征:①任意性:即“任意取x1和x2”中“任意”二字不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;②有大小之分;③属于同一个单调区间.(3)函数单调性给出了自变量与函数值之间的互化关系:比如f(x)在定义域I上是减函数,若x1,x2∈I,则f(x1)f(x2)⇔x1x2.2.对函数单调区间的三点说明(1)单调区间必须是函数定义域的子集.(2)若函数f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函数.如f(x)=在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说它在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.(3)函数的单调区间,在书写时,只要在端点处有定义,用开区间或闭区间都可以,但若在端点处无定义,必须用开区间表示.1x3.常见函数的单调区间(1)y=ax+b,a0时,单调增区间为(-∞,+∞);a0时,单调减区间为(-∞,+∞).(2)y=,a0时,单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞);a0时,单调增区间为(-∞,0)和(0,+∞).(3)y=a(x-m)2+n,a0时,单调减区间为(-∞,m],单调增区间为[m,+∞);a0时,单调增区间为(-∞,m],单调减区间为[m,+∞).ax【题型探究】类型一求函数的单调区间问题【典例】1.函数f(x)=+2的单调递减区间是.2.画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出函数的单调区间.1x【解题探究】1.典例1中f(x)的定义域是什么?提示:f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).2.典例2中如何处理|x|?提示:按照绝对值的定义去掉绝对值符号,化简函数解析式.【解析】1.函数f(x)=+2的图象可由反比例函数y=的图象向上平移2个单位得到,作出图象如图,结合图象可知单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).答案:(-∞,0),(0,+∞)1x1x2.y=-x2+2|x|+3函数图象如图所示.函数在(-∞,-1],[0,1]上是增函数,函数在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.所以函数的单调增区间是(-∞,-1]和[0,1],单调减区间是[-1,0]和[1,+∞).22x14,x0x14,x0.，【延伸探究】(变换条件)将典例2函数变为“y=|x2-2x-3|”,则其单调区间是什么?【解析】y=|x2-2x-3|的图象如图所示,由图象可得其单调递增区间是[-1,1],[3,+∞);递减区间是(-∞,-1],[1,3].【方法技巧】求函数单调区间的两种方法(1)图象法:①作出函数的图象;②把函数图象向x轴作正投影;③上升图象对应增区间,下降图象对应减区间.(2)单调性定义法:①作差,因式分解;②判断各因式符号;③如果各因式符号确定,则函数在整个定义域上具有单调性,如果有一个因式符号不确定,则需确定分界点以确定单调区间.【补偿训练】求函数f(x)=|x+1|-|2x-4|的单调递减区间.【解析】f(x)=|x+1|-|2x-4|=画出函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)的单调递减区间是[2,+∞).x5,x1,3x3,1x2,5x,x2.类型二函数单调性的判断与证明【典例】(2015·郑州高一检测)判断函数f(x)=x+在(2,+∞)上的单调性,并证明.【解题探究】典例中若设x1,x2∈(2,+∞),则x1x2与4的关系如何?提示:因为x1,x2∈(2,+∞),所以x1x24.4x【解析】函数f(x)在(2,+∞)上是增函数,证明如下:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1x2,则f(x1)-f(x2)==(x1-x2)+=(x1-x2)因为2x1x2,所以x1-x20,x1x24,x1x2-40,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以函数f(x)=x+在(2,+∞)上是增函数.4x121244xxxx＋21124xxxx1212xx4.xx【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)将本例中区间“(2,+∞)”改为“(0,2)”,判断函数f(x)的单调性,并证明.【解析】函数f(x)在(0,2)上是减函数,证明如下:任取x1,x2∈(0,2),且x1x2,则f(x1)-f(x2)==(x1-x2)+=(x1-x2)因为0x1x22,所以x1-x20,0x1x24,x1x2-40,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以函数f(x)=x+在(0,2)上是减函数.4x121244xxxx＋21124xxxx1212xx4.xx2.(变换条件、改变问法)将本例中的函数“f(x)=x+”变为“f(x)=”,求证函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数.4x2xx1【证明】任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1x2.则f(x1)-f(x2)=因为x2x1-1,所以x2-x10,(x1+1)(x2+1)0,因此f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(-1,+∞)上为减函数.211212123xx2x2x.x1x1x1x1【方法技巧】利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1x2.(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号.(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.【补偿训练】定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有0,则必有()A.函数f(x)先增后减B.函数f(x)先减后增C.函数f(x)是R上的增函数D.函数f(x)是R上的减函数fafbab【解析】选C.由0知,当ab时,f(a)f(b);当ab时,f(a)f(b),所以函数f(x)是R上的增函数.fafbab【延伸探究】(改变条件)本题若将“0”变为“(a-b)[f(a)-f(b)]0”,则函数f(x)的增减性如何?【解析】当ab时,f(a)f(b);当ab时,f(a)f(b),所以函数f(x)是R上的减函数.fafbab类型三函数单调性的应用【典例】1.(2015·张家界高一检测)已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是.2.(2015·广州高一检测)已知函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对于任意的x0,y0,都有f(xy)=f(x)+f(y),且满足f(2)=1.(1)求f(1),f(4)的值.(2)求满足f(2)+f(x-3)≤2的x的取值范围.2xax5,x1,a,x1x【解题探究】1.典例1中x1时对应的函数值f(x)与f(1)的大小关系如何?提示:f(x)是R上的增函数,所以x1时f(x)f(1).2.典例2中f(2)=1,则2与f(2)什么关系?提示:2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).【解析】1.因为f(x)在R上是单调递增的函数,所以f(x)需满足在区间(-∞,1]和(1,+∞)上都是单调递增的,并且端点处x=1的函数值-12-a-5≤,即a≥-3;f(x)=-x2-ax-5的对称轴为直线x=-,且在(-∞,1]上单调递增,所以-≥1,即a≤-2;f(x)=在(1,+∞)上单调递增,所以a0.综上所述,a的取值范围是[-3,-2].答案:[-3,-2]a1a2a2ax2.(1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,所以f(4)=2.(2)由f(2)=1及f(xy)=f(x)+f(y)可得2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).因为f(2)+f(x-3)≤2,所以f(2(x-3))≤f(4).又函数f(x)在定义域（0,+∞）上是单调增函数,所以解得3x≤5.2x302x34＞，，【方法技巧】利用函数单调性求参数范围的类型及相应的技巧(1)已知函数解析式求参数:(2)抽象函数求参数:只需利用单调增函数f(x)中f(a)f(b)⇔ab,单调减函数f(x)中f(a)f(b)⇔ab,去掉符号“f”,此时特别注意a,b要在给定的单调区间内.【变式训练】(2015·张掖高一检测)已知函数y=f(x)在R上是增函数,且f(2m+1)f(3m-4),求m的取值范围.【解题指南】由y=f(x)在R上是增函数可知f(2m+1)f(3m-4)⇔2m+13m-4,解此不等式即可.【解析】由y=f(x)在R上是增函数且f(2m+1)f(3m-4)知,2m+13m-4,解得m5,所以m的取值范围是(-∞,5).【补偿训练】(2015·杭州高一检测)f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围是.【解题指南】一次函数在定义域上单调递减,则一次项系数要小于0.(3a1)x4a,x1,ax,x1【解析】因为f(x)=是R上的减函数，答案：3a1x4a,x1,ax,x13a10,11a0a.833a14aa所以，解得，11[)83，规范解答利用函数单调性求解参数取值范围【典例】(12分)已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)f(2a-1),求a的取值范围.【审题指导】不等式f(1-a)f(2a-1)为抽象不等式,不能直接解.考虑到函数的单调性,可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系,即转化为具体不等式来求解.【规范解答】由题意可知………………………………