线面垂直以及二面角

MFEABCDGACBDP空间线面垂直、面面垂直一、直线与平面垂直：直线与平面内任意一条直线都垂直垂线、垂面、垂足、画法二、线面垂直的判定判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。数学符号：blnmPnmnlml,,,,三、线面垂直的性质定理：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直这个平面内的任何一条直线。数学符号：blbl,四、证线线垂直的方法：①菱形的对角线互相垂直②等腰三角形底边的中线垂直底边③圆的直径所对的圆周角为直角④利用勾股定理⑤间接法，用线面垂直的性质定理（blbbl,）五、面面垂直(1）两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。(2）两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。①菱形的对角线互相垂直：1.已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面。求证：EF⊥平面GMC．练习：如图ABCD-1111DCBA是底面为正方形的长方体，求证：（1）BD平面11AACC（2）1ACBD②等腰三角形底边的中线垂直底边2.如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．求证：PCAB；ABCD练习：在三棱锥A-BCD中，AB=AC,BD=DC,求证：ADBC③圆的直径所对的圆周角为直角3、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，PA平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若PCAH,且AH与PC交于H，求证：AH平面PBC.④利用勾股定理4.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，2,1,PDPACDPA,求证：（1）PA平面ABCD（2）求四棱锥P-ABCD的体积.5.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C是圆上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.（3）两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个PACBHOBCDPA平面。6.如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD,O为AD中点.，求证:PO⊥平面ABCD；7.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是060DAB且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；8.如图，在四棱锥ABCDP中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD二面角的平面角：1.如下图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.（1）求证：AB⊥BC；（2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小.ABCSEH(16)第题图2.如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。3．（2005福建)如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；4．（2004天津）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（Ⅰ）证明PA//平面EDB；（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD；（Ⅲ）求二面角C—PB—D的大小.5．如图，在底面为平行四形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.（Ⅰ）求证：ACPB；（Ⅱ）求证：//PB平面AEC；（Ⅲ）求二面角DACE的大小.