随机过程总复习.

第一章复习内容一、期望和方差1．期望设离散型随机变量X的分布律为kkpxXP)(,2,1k则)(XEkkkpx1设连续型随机变量X的概率密度为，)(xf则)(XEdxxxf)(函数期望当X为离散型随机变量则当X为连续型随机变量，则)(XgY)]([)(XgEYEkkkpxg)(1)]([)(XgEYEdxxfxg)()(2.方差计算方差时通常用下列关系式：称随机变量的期望为X的方差，即2)]([XEX)()var(XDX]))([(2XEXE)()var(XDX22)]([][XEXE3．性质（1）（2）（3）若X和Y相互独立，则CCE)(0)(CD)()(XCECXE)()(2XDCCXDniiniiXEXE11)()()()()(YEXEXYE计算协方差时通常用下列关系式：二、协方差),(CovYX))]())(([(YEYXEXE),(CovYX)()()(YEXEXYE三、矩母函数1．定义为X的矩母函数2．原点矩的求法称的数学期望tXe][)(tXeEt利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对逐次求导并计算在点的值：)(t0t][)(tXXeEt][)()tXnneXEt（][)0()nnXE（3．和的矩母函数定理1设相互独立的随机变量的矩母函数分别为，，…，，rXXX，，，21)(1t)(2t)(tr则其和的矩母函数为rXXXY21)(tY)(1t)(2t)(tr…两个相互独立的随机变量之和的矩母函数等于它们的矩母函数之积.四、特征函数特征函数设X为随机变量，称复随机变量的数学期望itXe)(tX][itXeE为X的特征函数，其中t是实数。还可写成)(tX][sin][costXiEtXE特征函数与分布函数相互唯一确定。性质则和设相互独立的随机变量的特征函数分别为，，…，rXXX，，，21)(1t)(2t)(trrXXXY21的特征函数为)(tY)(1t)(2t)(tr…两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积.练习:设随机变量X的概率密度函数为其它02021)(xxxp试求X的矩母函数。解：2021][)(xdxeeEttxtX]02[2120dxexettxtx222222)12()]1(12[21teteetettttt练习解由于所以设随机变量X服从参数为的泊松分布，求X的特征函数。0,1,2...kPXkekk（）！)(tXekekkitk！0！keekitk)(0iteee)1(itee条件分布函数与条件期望离散型若，则称0)jyYP（jijjjijippyYPyYxXPyYxXP)),)|（（（为在条件下，随机变量Y的条件分布律。ixX为在条件下，随机变量X的条件分布律。jyYiijijiijppxXPyYxXPxXyYP)),)|（（（同样1、条件分布函数的定义连续型同样)(),()|(yfyxfyxfY称为在条件下，随机变量X的条件分布律。yY)(),()|(xfyxfxyfX称为在条件下，随机变量Y的条件分布律。xX注意：分母不等于02、条件期望的定义离散型其中连续型)|(jyYXE)|(1jiiiyYxXPx)(),()|(jjijiyYPyYxXPyYxXP)|(yYXEdxyxfx)|(其中)|(yxf条件概率密度3、全数学期望公式定理对一切随机变量X和Y，有连续型)|(YXE是随机变量Y的函数，当时取值因而它也是随机变量。yY)|(yYXE离散型)]|([YXEE)(XE)()|()(1jjjyYPyYXEXEdyyfyYXEXEY)()|()(设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为其它010),(xyeyxfx.,)4];[)3);()2);(),()1的独立性讨论求YXXYExyfyfxfXYYX解：xxXdyedyyxfxf0),()(10,xxex1),()(yxYdxedxyxfyf10,1yeey练习:其它0101)(),()()2xyxxfyxfxyfXXYXY)1,0(2][XXXYE.2,x均值为中点条件分布是均匀分布dyxyfyxXYExXY)(][,10)3时当210xdyxyx.,)()(),()4不独立所以YXyfxfyxfYXXY练习:对于随机变量X和Y，满足条件则有,10)(,2)(YEXE)]([YXEE2..,)(,)1(:saXXEX则随机变量是若结论..,,)2(saXEXEX则相互独立与若练习:若随机变量X和Y相互独立，满足条件,10)(,2)(YEXE则有][YXE2一矿工困在矿井中，要到达安全地带，有三个通道可选择，他从第一个通道出去要走1个小时可到达安全地带，从第二个通道出去要走2个小时又返回原处，从第三个通道出去要走3个小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道，试问他到达安全地点平均要花多长时间。练习解设X表示矿工到达安全地点所需时间，Y表示他选定的通道，则)(XE)]|([YXEE)1()1|(YPYXE)2()2|(YPYXE)3()3|(YPYXE)]3()2(1[31EXEX6)(XE所以第二章复习内容随机过程的分类T离散、I离散T离散、I连续参数T状态I分类T连续、I离散T连续、I连续Poisson过程是参数状态的随机过程.Brown运动是参数状态的随机过程.离散连续连续连续练习袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量时取得白球如果时取得红球如果tttettX,,3)(试求这个随机过程的一维分布函数族。分析先求的概率分布)(tX所以解对每一个确定的时刻t，)(tX的概率分布为3tte)(tX3231P)(11xtF；))((11xtXPttexexttx11113,323,0，随机过程的数字特征2．方差函数]))()([()]([2ttXEtXDX)]([)(tXEtX1．均值函数3．协方差函数),(21tt))]()())(()([(2211ttXttXEXX)()]([22ttXEX当Tttt21，有),()]([tttXD]))()([(2ttXEX注4．自相关函数),(21ttR)]()([21tXtXE)()(),(),(212121ttttRttXX注当0)(tX时，有),(21ttR=),(21tt5．互协方差函数),(21ttXY)]()()][()([2211ttYttXEYX6．互相关函数),(21ttRXY)]()([21tYtXE),(21ttXY=),(21ttRXY)()(21ttYX练习解求:(1)均值函数;(2)协方差函数;(3)方差函数。设随机过程tUtX2cos)(，其中U是随机变量且()3EU，4)(UD（1）)(tX]2cos[)]([tUEtXE][2cosUtE3cos2t（2）),(21tt)]()()(()([(2211ttXttXEXX12[(3)cos2(3)cos2]EUtUt212cos2cos2[(3)]ttEU][2cos2cos21UDtt212cos2cos4tt令ttt21得ttXD2cos4)]([2练习解试求它们的互协方差函数。设两个随机过程UttX)(，2)(UttY其中U是随机变量且3)(UD)(tX和)(tY的均值函数][)(UtEtX][UtE][)(2UtEtY][2UEt),(21ttXY)]}()()][()({[22211UEttYUEttXE]))([(2221UEUEtt)(221UDtt2213tt所以)(tX和)(tY的互协方差函数1.严平稳过程定义1设随机过程{)(tX,Tt}，则称为严平稳过程)(tX若对任意的Ttttn,,21，和任意的)(Tti使得记为具有相同的联合分布,))(,),((1ntXtX))(,),((1ntXtXd与))(,),((1ntXtX))(,),((1ntXtX严平稳过程的有限维分布关于时间是平移不变的.2.宽平稳过程定义2设随机过程{)(tX，Tt}，如果它满足：（1）)(tX是二阶矩过程；（2）均值函数为常数，即)]([)(tXEtX（3）协方差函数),(21tt仅依赖21tt，即22121)]()([),(tXtXEtt)(则称为宽平稳过程，)(tX简称平稳过程因为均值函数)(tX2()R)(注:(3)可等价描述为:.),(2121有关仅与自相关函数ttttR1212(,)[()()]()RttEXtXtR注2注1严平稳过程不一定是宽平稳过程。因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。宽平稳过程也不一定是严平稳过程。因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。性质1平稳过程相关函数的性质(1)自相关函数的性质性质2(0)0R|()|(0)RR说明相关函数()R在0时取得最大值()R为偶函数：性质3()()RR(2)协方差函数的性质性质2)0(|)(|性质3)()(性质1)](var[)0(tX,)(为偶函数练习;},2,1),({,)2,0(,cos)(是宽平稳序列证明的随机变量上的均匀分布是服从这里设ttXUUttX0cos21)]([20utdutXE),(stusduutcoscos2120故)(tX是宽平稳随机序列。Nststst,021当，，当解:.,有关协方差仅与均值为常数st)]cos()[cos(21coscosbababaUttXsin)()]cos()[cos(21sinsinbababa1.设{)(nX，,2,1,0n}是相互独立的随机变量序列,)()(0nXiYin则{)(iY，,2,1,0i}是一个_____________。令练习Ttt,)()(tXtX)(tX2.若对任意的,增量的概率分布只依赖于而与无关，则称随机过程为。t齐次的独立增量过程时齐的定义3.1.1:,0)(,}0),({以下两个特点它具备发生的次数时刻某一特定事件到满足如果称为计数过程随机过程AttNttN.],()()()()(,)2(;0)()1(发生的次数事件时间内表示且时且取值为整数AtssNtNtNsNtstN第三章复习内容定义3.1.2,2,1,0,!)(})()({,0,0,)3(;)2(;0)0()1(,)0(}0),({nntensNstNPtspoissonttNpoissonttNnt有即对一切发布的次数服从均值为的的时间区间中事件发生在任一长度为过程有独立增量如果过程的称为参数为计数过程)(}2)()({,0)4()(}1)()({,0,0)3(;)2(;0)0()1(,}0),({hotNhtNPhhohtNhtNPhNttN有时当有时当存在过程有平稳独立增量它满足是一个计数过程设