高考数学一轮复习-基本初等函数知识点与典型例题

基本初等函数【整体感知】：定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质第1讲指数函数【基础梳理】1.根式（1）根式的概念如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做__a的n次方根_,其中n＞1且n∈N*.式子na叫做__根式__,这里n叫做____根指数___，a叫做__被开方数____.（2）根式的性质①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号_na___表示.②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号__na__表示,负的n次方根用符号___na_____表示.正负两个n次方根可以合写为___na_____（a＞0）.③()nna=___a___.④当n为奇数时，nna=__a__;当n为偶数时，||nnaa=___(0)(0)aaaa_____.基本初等函数幂函数一次函数二次函数⑤负数没有偶次方根.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：nnaaaa个（n∈N*）；②零指数幂：a0=__1__（a≠0）；③负整数指数幂：a-p=__1pa___（a≠0，p∈N*）；④正分数指数幂：mna=___nma____（a0，m、n∈N*，且n1）；⑤负分数指数幂：mna=1mna=1nma(a0,m、n∈N*,且n1).⑥0的正分数指数幂等于__0____，0的负分数指数幂____没有意义______.（2）有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a0,r、s∈Q);③(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).3.指数函数的图象与性质y=ax(a＞0且a≠1)图象[来源:Z+xx+k.Com][来源:学&科&网][来源:学科网][来源:学#科#网][来源:Z&xx&k.Com]a＞1[来源:学科网ZXXK]0＜a＜1定义域R值域(0,+∞)性质(1)过定点___(0,1)______(2)当x0时,__y1__;x0时,__0y1__(2)当x0时,___0y1_____;x0时,__y1____(3)在(-∞，+∞)上是_增函数_(3)在(-∞，+∞)上是_减函数___【要点解读】要点一指数运算【例1】210.50332771(1)(0.027)()(2);(2)(31)945;125952333142115113333662222338(3)(2)(6)(3);(4)(21).42abbaabababbbaabb1112222224(5)(1),.24xxxaaxaxxx若求的值【标准解析】根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留。【误区警示】一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序，否则容易发生运算的错误。【答案】123125259559(1)(0.3)().27910033100原式2(2)521(52)(52)1(52)1.原式2111150326236(3)[2(6)(3)]44.ababa原式111111211211133333333333332112121121133333333333111133333(8)2(2)(42)(4)42422().bababbabaabbbbbaabbbaabbabbbbbb原式11122222222222111(5),2,4(4)(2)(2)11()111()4()2(),.11()xaaxaxxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa由得原式【变式训练】11203217(1)(0.027)()(2)(21);79化简：412323333225333382(2)()42aabbaaaaaababa（3）已知11223xx，求22332223xxxx的值。【标准解析】112322725105(1)()7()149145.1000933原式（2）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(aaaaababbaabaa23231616531313131312)2(aaaaaabaabaa。（3）∵11223xx，∴11222()9xx，∴129xx，∴17xx，∴12()49xx，∴2247xx，又∵331112222()(1)3(71)18xxxxxx，∴223322247231833xxxx。【技巧点拨】根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.要点二指数函数的概念与性质【例2】已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围．【例3】设函数()fx=2221xxaa为奇函数.求：（1）实数a的值；（2）用定义法判断()fx在其定义域上的单调性.【标准解析】解决含指数式的各种问题，要熟练运用指数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识。【误区警示】证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。【答案】(1)方法一依题意，函数()fx的定义域为R，∵()fx是奇函数，∴()fx=-()fx，2分2222,2121xxxxaaaa∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1.6分方法二∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，即220,2a∴a=1.6分（2）由(1)知21(),21xxfx设12xx且12,xx∈R，8分2121212121()()2121xxxxfxfx则212121222(22)(1)(1)0,2121(21)(21)xxxxxx∴12()()fxfx,∴()fx在R上是增函数.【变式训练】设e()exxafxa是定义在R上的函数.（1）()fx可能是奇函数吗？（2）若()fx是偶函数，试研究其单调性.【标准解析】(1)方法一假设()fx是奇函数,由于定义域为R,∴()fx=-()fx，,即ee(),eexxxxaaaa整理得1()(ee)0,xxaa即10,aa即2a+1=0,显然无解.∴()fx不可能是奇函数.方法二若()fx是R上的奇函数，则f(0)=0,即10,,aa无解∴()fx不可能是奇函数.(2)因为()fx是偶函数，所以()fx=()fx,即ee,eexxxxaaaa整理得1()(ee)0,xxaa又∵对任意x∈R都成立，∴有10,aa得a=±1.当a=1时，()fx=xxee,以下讨论其单调性，任取12,xx∈R且12xx,121211221212(ee)(e1)()()eeee,eexxxxxxxxxxfxfx则1212ee0,ee0,xxxx其中当12e10,xx12()()fxfx,()fx为增函数,此时需要120xx，即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0]为减区间.当a=-1时，同理可得()fx在（-∞，0］上是增函数，在［0，+∞）上是减函数.【技巧点拨】解决含指数式的各种问题，关键是熟练运用指数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识。要点三指数函数的图像与应用【例4】若函数y=g(x)的图象与函数f(x)=(x－1)2(x≤1)的图象关于直线y=x对称,则g(x)的表达式是（）【命题立意】函数的图象经常和函数的性质联系在一起，把握函数图象之间的特点和联系。在解题的过程中也常常需要结合指数函数的图象。【标准解析】利用函数的图象关于直线y=x对称的实质是求函数的反函数【误区警示】此题还要特别注意反函数的定义域，不要忘记书写，也不要出现表达错误的情况。【答案】因为1()xfx，1()xfx，所以在x≤1时，f(x)的反函数为1()1fxx（x≥0），故答案为g(x)=1－x(x≥0)【变式训练】下图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（）Oxy1(1)(2)(3)(4)A.a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜cC.1＜a＜b＜c＜dD.a＜b＜1＜d＜c【标准解析】可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c、d的大小，从（1）（2）中比较a、b的大小.【技巧点拨】x=1称为指数函数特征线。熟练运用特征线比较底数大小带来极大方便。【答案】解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得b＜a＜1＜d＜c.解法二：令x=1，由图知c1＞d1＞a1＞b1，∴b＜a＜1＜d＜c.答案：B【例5】已知函数|1|1().3xy(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.【标准解析】第(1)由()fx=-()fx恒成立可解得a的值;第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.【误区警示】在作函数图象时,首先要研究函数与某一基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.xy①②③④【答案】（1）由已知可得1|1|11()(1)1(),333(1)xxxxyx其图象由两部分组成：一部分是亦由1()(0)3xyx向左平移1个单位得到11()(1);3xyx另一部分是由3(0)xyx向左平移1个单位得到13(1);xyx图象如图：(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，在（-1，+∞）上是减函数.(3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.【变式训练】若直线y=2a与函数y=|xa-1|(a0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是______.解析当a1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意.当0a1时，如图②,由图象知02a1,10.2a【技巧点拨】在解题的过程中也常常需要结合指数函数的图象，数形结合.第2讲对数函数【基础梳理】1.对数的概念（1）对数的定义如果ax=N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数,记作__logaxN____,其中_a___叫做对数的底数,__N__叫做真数.（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a≠1)___logaN____常用对数底数为_10______lgN___自然对数底数为__e______lnN___2.对数的性质与运算法则（1）对数的性质①logaNa=___N__;②logNaa=__N___(a0且a≠1).（2）对数的重要公式①换底公式:logloglogabaNNb(a,b均大于零且不等于1)；②1log,logabba推广logab·logbc·logcd=__lo