高等数学18函数的连续性与间断点

返回上页下页目录2019年12月14日星期六1第八节函数的连续性与间断点第一章三、函数的间断点二、函数的连续性一、问题的提出四、小结与思考题返回上页下页目录2019年12月14日星期六2一、问题的提出0T(时间)温度C41424一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性返回上页下页目录2019年12月14日星期六3二、函数的连续性1.函数的增量设变量x从初值1x变到终值2x，终值与初值的差21xx叫做变量x的增量，记作x，即21xxx．显然，增量x可以是正的，也可以是负的．21()()yfxfx叫做函数值的增量.一般地，设函数()yfx在点0x的某一个邻域内是有定义的．当自变量x在这邻域内从0x变到0xx时，函数值y相应地从0()fx变到0()fxx，因此，函数y的对应增量为00()()yfxxfx返回上页下页目录2019年12月14日星期六4定义12.连续的定义设函数)(xf在)(0xU内有定义,如果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx，那末就称函数)(xf在点0x连续,并称0x为)(xf的连续点.说明：由x=0xx，则x0就是0xx．又因为000()()()()yffxfxfxxx，即0()()fyxfx，则0y，也就是0()()fxfx，于是有以下等价定义：返回上页下页目录2019年12月14日星期六5在的某邻域内有定义,则称函数.)(0连续在xxf设函数且定义2采用“”语言，定义2可叙述为：对0，0，当0xx时，总有0()()fxfx成立，则称函数()yfx在点0x连续．注意定义1与定义2本质上是一致的，即函数()fx在点0x连续，必须同时满足下列三个条件：（1）函数y＝()fx在点0x的某个邻域内有定义（2）0lim()xxfx存在；（3）00lim()()xxfxfx．返回上页下页目录2019年12月14日星期六63.单侧连续左连续:)(0xf00lim()()xxxfxf,0,0当),(00xxx时,有0(().)fxfx右连续:)(0xf00lim()()xxxfxf,0,0当),(00xxx时,有0(().)fxfx定理00lim()()xxxffx000lim()lim()()xxxxfxffxx与单侧极限相类似！返回上页下页目录2019年12月14日星期六74.连续函数若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.如果此区间包含端点，那么（1）函数在左端点连续是指在左端点右连续，（2）函数在右端点连续是指在右端点左连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线．.],[baC在闭区间上的连续函数的集合记作返回上页下页目录2019年12月14日星期六8)()(lim,),(000xPxPxxx在上连续.(有理整函数)又如,有理分式函数在其定义域内连续.只要,0)(0xQ都有)()(lim00xRxRxx例如,返回上页下页目录2019年12月14日星期六9在内连续.证:),(xxxxysin)sin(222sincos()xxyxx0x即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.0例1证明函数返回上页下页目录2019年12月14日星期六1021,031,0xxyxx0x00limlim(31)011xxyx00limlim(21)011xxyx0x(0)1(0)ffy0x例2讨论函数在处的连续性．解由于即左右极限不相等，所以该函数在但是，因为点不连续．，所以函数在处右连续．返回上页下页目录2019年12月14日星期六11三、函数的间断点定义3在在(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但)()(lim00xfxfxx不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则这样的点下列情形之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;返回上页下页目录2019年12月14日星期六12第一类间断点:及均存在,若称0x若称0x第二类间断点:及中至少一个不存在,称0x若其中有一个为振荡,称0x若其中有一个为,为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.间断点分类:返回上页下页目录2019年12月14日星期六132x为其无穷间断点.0x为其振荡间断点.1x为可去间断点.xoy1xytan2xyoxyxy1sin0例如:返回上页下页目录2019年12月14日星期六141)1(1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点.1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5)0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11,1)0(f1)0(f0x为其跳跃间断点.返回上页下页目录2019年12月14日星期六15asin,0,(),0,xxfxaxx0x(0)0faa00lim()lim(sin)0xxfxx00lim()lim()xxfxaxa(0)(0)(0)fff0a0a()fx0x例3当取何值时，函数解因为要使，则需要．故当且仅当时，函数在点连续．在处连续．返回上页下页目录2019年12月14日星期六16内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式返回上页下页目录2019年12月14日星期六17作业习题1-82（1，3，5），3（1），思考与练习1.讨论函数231)(22xxxxfx=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.答案:x=1是第一类可去间断点,返回上页下页目录2019年12月14日星期六182.讨论函数2,0,()2,0,xxfxxx在0x处的连续性。解：)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,故函数()fx在点0x不连续。返回上页下页目录2019年12月14日星期六193.讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其类别．22(1)()lim1nnnxxfxx习题1－93（2）,||1()0,||1,||1xxfxxxx11xx和为跳跃间断点.解：返回上页下页目录2019年12月14日星期六20间断点的类型.xxexf111)(解:间断点1,0xx)(lim0xfx,0x为无穷间断点;,1时当xxx1,0)(xf,1时当xxx1,1)(xf故1x为跳跃间断点.,1,0处在x.)(连续xf4.确定函数