高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《16三角函数模型的简单应用》评估训练

双基达标限时20分钟1．函数y＝sin|x|的图象()．A．关于x轴对称B．关于原点对称C．关于y轴对称D．不具有对称性解析∵x∈R，且f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)．∴函数y＝sin|x|是偶函数，图象关于y轴对称．答案C2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是()．A.150B．50C.1100D．100解析由题知T＝2πω＝2π100π＝150.答案A3．函数y＝sinx与y＝tanx的图象在－π2，π2上的交点有()．A．4个B．3个C．2个D．1个解析当x＝0时，sinx＝0，tanx＝0，(0,0)为两函数图象的交点，当x∈0，π2时，tanxsinx，两函数图象无交点．当x∈－π2，0时，tanxsinx，两函数图象无交点．所以所求交点只有1个．答案D4．振动量函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是________．解析T＝1f＝23，∴ω＝2πT＝3π，∴相位ωx＋φ＝3πx－π.答案3πx－π5．函数y＝tan2x－π3与y＝－a(a∈R)的交点中距离最小为________．解析y＝tan2x－π3与y＝－a的交点中距离最小为一个周期T＝π2.答案π26．如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(0φ2π)．(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式．解(1)由图可知，这段时间的最大温差是30－10＝20(℃)．(2)∵从6时到14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，∴12T＝14－6，∴T＝16，ω＝π8，A＝12(30－10)＝10，b＝12(30＋10)＝20，此时y＝10sinπ8x＋φ＋20.将x＝6，y＝10代入上式，得φ＝3π4，综上所求的解析式为y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]．综合提高限时25分钟7．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数解析式为s＝6sin2πt＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()．A．2πsB．πsC．0.5sD．1s解析单摆来回摆动一次所需时间为该函数的最小正周期，∵ω＝2π，∴T＝2π2π＝1s.答案D8．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝π4对称；③在0，π4上是增函数”的一个函数是()．A．y＝sinx2B．y＝cos2xC．y＝sin2xD．y＝cosx2解析最小正周期为π，可排除A、D；B、C的周期均为π，但当x＝π4时，cos2×π4＝cosπ2＝0，∴x＝π4不是y＝cos2x的对称轴，排除B.答案C9．(2012·盐城高一检测)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转．当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．解析经过ts秒针转了π30trad.由图知sinπt60＝d25，所以d＝10sinπt60.答案10sinπt6010．(2012·菏泽高一检测)据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0，|φ|π2)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．解析由题可知T2＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝2πT＝π4.又5＋92＝B，9－52＝A，∴A＝2，B＝7.即f(x)＝2sinπ4x＋φ＋7(*)又过点(3,9)，代入(*)式得sin3π4＋φ＝1.由3π4＋φ＝π2，且|φ|π2，∴φ＝－π4，即f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)．答案f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)11．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．解(1)T＝2π|ω|＝2π160π＝180min.(2)f＝1T＝80.(3)p(t)max＝115＋25＝140mmHg，p(t)min＝115－25＝90mmHg.即收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg，比正常值稍高．12．(创新拓展)某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24)(小时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某天各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)选用一个函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(米)与t时间(小时)的函数关系；(2)依据规定，当海浪高度不少于1米时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？解(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如下：依据散点图，可以选用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(米)与t时间(小时)的函数关系．从表中数据和散点图可知，A＝1.5－0.52＝12，T＝12，所以2πω＝12，得ω＝π6.又h＝1.5＋0.52＝1，于是y＝12sinπ6t＋φ＋1.由图可知，点(0,1.5)是“五点法”中的第二点，即π6×0＋φ＝π2，得φ＝π2，从而y＝12sinπ6t＋π2＋1，即y＝12cosπ6t＋1.(2)由题意可知，当y≥1时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，所以12cosπ6t＋1≥1，即cosπ6t≥0，所以2kπ－π2≤π6t≤2kπ＋π2(k∈Z)，即12k－3≤t≤12k＋3(t∈Z)．而0≤t≤24，所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24.故一天内的上午8时至晚上20时之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即上午9时至下午15时．