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第二章《平面解析几何初步》一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线310axy与直线2()103axy垂直,则a的值是()DA.1或13B.1或13C.1或13D.1或132.直线1:0laxyb,2:0lbxya(00)abab,,在同一坐标系中的图形大致是图中的()C3.已知点(11)A,和圆22:(5)+(7)=4Cxy,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()BA.622B.8C.46D.104.圆22+=1xy与圆22+=4xy的位置关系是()DA.相离B.相切C.相交D.内含5.已知圆22:()+(2)=4Cxay(0)a及直线:+3=0lxy,当直线l被圆C截得的弦长为23时,a的值等于()BA.2B.21C.22D.2+16.若直线:2=(1)lykx与圆22:+=1Cxy相切,则直线l方程为()BA.3+411=0xyB.34+5=0xyC.3+411=0xy或=1xD.34+5=0xy或=1x7.已知直线:=+lyxm曲线2:=1Cyx有两个公共点,则实数m的取值范围是()CA.(22),B.(11),C.[12),D.(22),8.过(54)P,作圆22:+223=0Cxyxy的切线,切点分别为A、B,四边形PACB的面积是()BA.5B.10C.15D.209.若直线:+240lmxny()mnmnR,,始终平分圆22:+424=0Cxyxy的周长,则mn的取值范围是()A.(0,1)B.(0,-1)C.(-∞,1)D.(-∞,-1)解析:选C.圆x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9,直线mx+2ny-4=0始终平分圆周,即直线过圆心(2,1),所以2m+2n-4=0,即m+n=2,mn=m(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+1≤1,当m=1时等号成立,此时n=1,与“m≠n”矛盾,所以mn<1.12.过点P(-2,4)作圆O:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线m:ax-3y=0与直线l平行,则直线l与m的距离为()A.4B.2C.85D.125解析:选A.∵点P在圆上,∴切线l的斜率k=-1kOP=-11-42+2=43.∴直线l的方程为y-4=43(x+2),即4x-3y+20=0.又直线m与l平行,∴直线m的方程为4x-3y=0.故两平行直线的距离为d=|0-20|42+-2=4.二、填空题(本大题共4小题,请把答案填在题中横线上)13.过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是________.解析:易求得AB的中点为(0,0),斜率为-1,从而其垂直平分线为直线y=x,根据圆的几何性质,这条直线应该过圆心,将它与直线x+y-2=0联立得到圆心O(1,1),半径r=|OA|=2.答案:(x-1)2+(y-1)2=415.若垂直于直线2x+y=0,且与圆x2+y2=5相切的切线方程为ax+2y+c=0,则ac的值为________.解析:已知直线斜率k1=-2,直线ax+2y+c=0的斜率为-a2.∵两直线垂直,∴(-2)·(-a2)=-1,得a=-1.圆心到切线的距离为5,即|c|5=5,∴c=±5,故ac=±5.答案:±516.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点,则实数m的取值范围是__________.解析:将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为标准方程,得(x-1)2+(y+2)2=1,圆心为(1,-2),半径为1.若直线与圆无公共点,即圆心到直线的距离大于半径,即d=|3×1+-+m|32+42=|m-5|5>1,∴m<0或m>10.答案:(-∞,0)∪(10,+∞)三、解答题(本大题共6小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.三角形ABC的边AC,AB的高所在直线方程分别为2x-3y+1=0,x+y=0,顶点A(1,2),求BC边所在的直线方程.解:AC边上的高线2x-3y+1=0,所以kAC=-32.所以AC的方程为y-2=-32(x-1),即3x+2y-7=0,同理可求直线AB的方程为x-y+1=0.下面求直线BC的方程,由3x+2y-7=0,x+y=0,得顶点C(7,-7),由x-y+1=0,2x-3y+1=0,得顶点B(-2,-1).所以kBC=-23,直线BC:y+1=-23(x+2),即2x+3y+7=0.18.一束光线l自A(-3,3)发出,射到x轴上,被x轴反射后与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0有公共点.(1)求反射光线通过圆心C时,光线l所在直线的方程;(2)求在x轴上,反射点M的横坐标的取值范围.解:圆C的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1.(1)圆心C关于x轴的对称点为C′(2,-2),过点A,C′的直线的方程x+y=0即为光线l所在直线的方程.(2)A关于x轴的对称点为A′(-3,-3),设过点A′的直线为y+3=k(x+3).当该直线与圆C相切时,有|2k-2+3k-3|1+k2=1,解得k=43或k=34,所以过点A′的圆C的两条切线分别为y+3=43(x+3),y+3=34(x+3).令y=0,得x1=-34,x2=1,所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[-34,1].19.已知圆x2+y2-2x-4y+m=0.(1)此方程表示圆,求m的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值;(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.解:(1)方程x2+y2-2x-4y+m=0,可化为(x-1)2+(y-2)2=5-m,∵此方程表示圆,∴5-m>0,即m<5.(2)x2+y2-2x-4y+m=0,x+2y-4=0,消去x得(4-2y)2+y2-2×(4-2y)-4y+m=0,化简得5y2-16y+m+8=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=165,①y1y2=m+85.②由OM⊥ON得y1y2+x1x2=0即y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0,∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0.将①②两式代入上式得16-8×165+5×m+85=0,解之得m=85.(3)由m=85,代入5y2-16y+m+8=0,化简整理得25y2-80y+48=0,解得y1=125,y2=45.∴x1=4-2y1=-45,x2=4-2y2=125.∴M-45,125,N125,45,∴MN的中点C的坐标为45,85.又|MN|=125+452+45-1252=855,∴所求圆的半径为455.∴所求圆的方程为x-452+y-852=165.20.已知圆O:x2+y2=1和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,|PQ|=|PA|成立,如图.(1)求a、b间关系;(2)求|PQ|的最小值;(3)以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.解:(1)连接OQ、OP,则△OQP为直角三角形,又|PQ|=|PA|,所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2=1+|PA|2,所以a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2,故2a+b-3=0.(2)由(1)知,P在直线l:2x+y-3=0上,所以|PQ|min=|PA|min,为A到直线l的距离,所以|PQ|min=|2×2+1-3|22+12=255.(或由|PQ|2=|OP|2-1=a2+b2-1=a2+9-12a+4a2-1=5a2-12a+8=5(a-1.2)2+0.8,得|PQ|min=255.)(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点,半径最小时为与圆O相切的情形,而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径,圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P0,所以r=322+12-1=355-1,又l′:x-2y=0,联立l:2x+y-3=0得P0(65,35).所以所求圆的方程为(x-65)2+(y-35)2=(355-1)2.21.有一圆与直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的方程.解:法一:由题意可设所求的方程为(x-3)2+(y-6)2+λ(4x-3y+6)=0,又因为此圆过点(5,2),将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ=-1,所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心为C(a,b),由|CA|=|CB|,CA⊥l,得-a2+-b2=r2,-a2+-b2=r2,b-6a-3×43=-1,解得a=5,b=92,r2=254.所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-92)2=254.法三:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由CA⊥l,A(3,6),B(5,2)在圆上,得32+62+3D+6E+F=0,52+22+5D+2E+F=0,-E2-6-D2-3×43=-1,解得D=-10,E=-9,F=39.所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.法四:设圆心为C,则CA⊥l,又设AC与圆的另一交点为P,则CA的方程为y-6=-34(x-3),即3x+4y-33=0.又因为kAB=6-23-5=-2,所以kBP=12,所以直线BP的方程为x-2y-1=0.解方程组3x+4y-33=0,x-2y-1=0,得x=7,y=3.所以P(7,3).所以圆心为AP的中点(5,92),半径为|AC|=52.所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-92)2=254.22.如图在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐标.解:(1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心到直线l的距离为d,因为圆C1被直线l截得的弦长为23,所以d=22-32=1.由点到直线的距离公式得d=|1-k-3-1+k2,从而k(24k+7)=0,即k=0或k=-724,所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0,则直线l2的方程为y-b=-1k(x-a).因为圆C1和C2的半径相等,且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即|1-k-3-a-b|1+k2=|5+1k-a-b|1+1k2,整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,因为k的取值有无穷多个,所以a+b-2=0,b-a+3=0,或a-b+8=0,a+b-5=0,解得a=52,b=-12,或a=-32,b=132.这样点P只可能是点P152,-12或点P2-32,132.经检验点P1和P2满足题目条件.
本文标题:高中数学第二章《平面解析几何初步》同步练习二新人教B版必修2
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