高中数学导数及其应用复习题

名校试卷网第四讲导数及其应用（2）★★★高考在考什么【考题回放】1．已知对任意实数x，有()()()()fxfxgxgx，，且0x时，()0()0fxgx，，则0x时（B）A．()0()0fxgx，B．()0()0fxgx，C．()0()0fxgx，D．()0()0fxgx，2．曲线12exy在点2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（D）Ａ．29e2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e3．设2:()eln21xpfxxxmx在(0)，内单调递增，:5qm≥，则p是q的（B）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（D）5．函数()ln(0)fxxxx的单调递增区间是＿＿＿＿．1,e6．若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，则a=；★★★高考要考什么1．导数的定义：名校试卷网()()()()(2)()()limlimlim2xxxxfxxfxfxfxfxxfxfxxxxx2．导数的几何意义：（1）函数()yfx在点0x处的导数0()fx，就是曲线()yfx在点00(,)Pxy处的切线的斜率；（2）函数()sst在点0t处的导数0()St，就是物体的运动方程()sst在时刻0t时的瞬时速度；3．要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意：1(log)logxeaax和lnxxaaa。4．求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y′，3）、令y′0(y′0),解出相应的x的范围。当y′0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y′0时，f(x)在相应区间上是减函数5．求极值常按如下步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程/y=0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法,检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。6．设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值，(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。7．最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。★★★突破重难点【范例1】已知函数xbxaxxf3)(23在1x处取得极值.（1）讨论)1(f和)1(f是函数f(x)的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.（1）解：323)(2bxaxxf，依题意，0)1()1(ff，即.0323,0323baba解得0,1ba.∴)1)(1(333)(,3)(23xxxxfxxxf.令0)(xf，得1,1xx.若),1()1,(x，则0)(xf，故f(x)在)1,(上是增函数，f(x)在),1(上是增函数.若)1,1(x，则0)(xf，故f(x)在)1,1(上是减函数.所以，2)1(f是极大值；2)1(f是极小值.（2）解：曲线方程为xxy33，点)16,0(A不在曲线上.设切点为),(00yxM，则点M的坐标满足03003xxy.因)1(3)(200xxf，故切线的方程为))(1(30200xxxyy名校试卷网（0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(16020030xxxx化简得830x，解得20x.所以，切点为)2,2(M，切线方程为0169yx.【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【范例2】（安徽理）设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x－2alnx＋1.解：（Ⅰ）根据求导法则有2ln2()10xafxxxx，，故()()2ln20Fxxfxxxax，，于是22()10xFxxxx，，列表如下：x(02)，2(2)，∞()Fx0()Fx极小值(2)F故知()Fx在(02)，内是减函数，在(2)，∞内是增函数，所以，在2x处取得极小值(2)22ln22Fa．（Ⅱ）证明：由0a≥知，()Fx的极小值(2)22ln220Fa．于是由上表知，对一切(0)x，∞，恒有()()0Fxxfx．从而当0x时，恒有()0fx，故()fx在(0)，∞内单调增加．所以当1x时，()(1)0fxf，即21ln2ln0xxax．故当1x时，恒有2ln2ln1xxax．【点晴】本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．【范例2】已知定义在正实数集上的函数21()22fxxax，2()3lngxaxb，其中0a．设两曲线()yfx，()ygx有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用a表示b，并求b的最大值；名校试卷网（II）求证：()()fxgx≥（0x）．解：（Ⅰ）设()yfx与()(0)ygxx在公共点00()xy，处的切线相同．()2fxxa∵，23()agxx，由题意00()()fxgx，00()()fxgx．即22000200123ln232xaxaxbaxax，，由20032axax得：0xa，或03xa（舍去）．即有222221523ln3ln22baaaaaaa．令225()3ln(0)2httttt，则()2(13ln)httt．于是当(13ln)0tt，即130te时，()0ht；当(13ln)0tt，即13te时，()0ht．故()ht在130e，为增函数，在13e，∞为减函数，于是()ht在(0)，∞的最大值为123332hee．（Ⅱ）设221()()()23ln(0)2Fxfxgxxaxaxbx，则()Fx23()(3)2(0)axaxaxaxxx．故()Fx在(0)a，为减函数，在()a，∞为增函数，于是函数()Fx在(0)，∞上的最小值是000()()()()0FaFxfxgx．故当0x时，有()()0fxgx≥，即当0x时，()()fxgx≥．【点晴】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．变式：已知函数)0)(ln()(aaexfx.（1）求函数y=f(x)的反函数)()(1xfxfy及的导数);(xf名校试卷网（2）假设对任意0))(ln(|)(|)],4ln(),3[ln(1xfxfmaax不等式成立，求实数m的取值范围.解：（1）,ln,0ayexaxaexfyxln,ln1；aeaeeyxxx11（2）0))(ln(|)(|)],4ln(),3[ln(1xfxfmaax不等式xfxfmxfxflnln11aeeaemaeeaexxxxxxlnlnlnlnxxxxxeaemaeaee22lnlnxxmxxxeaeeaeaee22令：aatettattvatatttux4,3,,,2222222220,3,4,0()tatatavttaauttta所以)(),(tvtu都是增函数.因此当]4,3[aat时，)(tu的最大值为)(,512)4(tvaau的最小值为,38)3(aav而不等式②成立当且仅当),3()4(aveaum即aeam38512，于是得).38ln()512ln(ama解法二：由0))(ln(|)(|1xfxfm得.)ln()ln()ln()ln(xaeaemxaeaexxxx设,)ln()ln()(,)ln()ln()(xaeaexxaeaexxxxx于是原不等式对于)]4ln(),3[ln(aax恒成立等价于).()(xmx③…7分由1)(,1)(aeeaeexaeeaeexxxxxxxxx，注意到,0aeeaexxx故有0)(,0)(xx，从而可)()(xx与均在名校试卷网)]4ln(),3[ln(aa上单调递增，因此不等式③成立当且仅当)).3(ln())4(ln(ama即).38ln()512ln(ama【点晴】求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.