高中数学【配套Word版文档】72一元二次不等式及其解法

§7.2一元二次不等式及其解法2014高考会这样考1.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题；2.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型；3.以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．复习备考要这样做1.结合二次函数的图象，理解“三个二次”的关系，掌握二次不等式的解法；2.理解简单的分式不等式、高次不等式的解法，和函数单调性结合解一些指数不等式、对数不等式．1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0)．(2)求出相应的一元二次方程的根.(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅[难点正本疑点清源]1．一元二次不等式的解集及解集的确定一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c0(或0)(其中a0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2(x1x2)(此时Δ＝b2－4ac0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．1．不等式x21的解集为________．答案{x|－1x1}解析x21，则－1x1，∴不等式的解集为{x|－1x1}．2．函数y＝x2＋x－12的定义域是____________．答案(－∞，－4]∪[3，＋∞)解析由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0，∴x≤－4或x≥3.3．已知不等式x2－2x＋k2－10对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为____________．答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)0，即k22，∴k2或k－2.4．(2012·重庆改编)不等式x－12x＋1≤0的解集为__________．答案－12，1解析x－12x＋1≤0等价于不等式组x－1≤0，2x＋10，①或x－1≥0，2x＋10.②解①得－12x≤1，解②得x∈∅，∴原不等式的解集为－12，1.5．若不等式ax2＋bx－20的解集为{x|－2x14}，则ab＝________.答案28解析由已知得－2＋14＝－ba－2×14＝－2a，∴a＝4，b＝7，∴ab＝28.题型一一元二次不等式的解法例1已知不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}，(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0.思维启迪：(1)先化简不等式为标准形式，再依据解集确定a的符号，然后利用根与系数的关系列出a，b的方程组，求a，b的值．(2)所给不等式含有参数c，因此需对c讨论写出解集．解(1)因为不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a.解得a＝1，b＝2.(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0，即x2－(2＋c)x＋2c0，即(x－2)(x－c)0.当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|2xc}；当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|cx2}；当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为∅.所以，当c2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为{x|2xc}；当c2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为{x|cx2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为∅.探究提高(1)解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．(1)不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}，则不等式ax2－bx＋c0的解集为________．答案{x|－3x－2}解析令f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(－x)＝ax2－bx＋c，结合图象，可得ax2－bx＋c0的解集为{x|－3x－2}．(2)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1.②当a0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≥0⇒x≥2a或x≤－1.③当a0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0.当2a－1，即a－2时，原不等式等价于－1≤x≤2a；当2a＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；当2a－1，即a－2，原不等式等价于2a≤x≤－1.综上所述，当a－2时，原不等式的解集为－1，2a；当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2a0时，原不等式的解集为2a，－1；当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪2a，＋∞.题型二一元二次不等式恒成立问题例2已知不等式ax2＋4x＋a1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．思维启迪：化为标准形式ax2＋bx＋c0后分a＝0与a≠0讨论．当a≠0时，有a0，Δ＝b2－4ac0.解原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－10对一切实数恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，从而有a＋20，Δ＝42－4a＋2a－10，整理，得a－2，a－2a＋30，所以a－2，a－3或a2，所以a2.故a的取值范围是(2，＋∞)．探究提高不等式ax2＋bx＋c0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c0；当a≠0时，a0，Δ0.不等式ax2＋bx＋c0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c0；当a≠0时，a0，Δ0.当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋40恒成立，则m的取值范围是______________．答案(－∞，－5]解析方法一当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋40恒成立⇒m－x2＋4x＝－x＋4x在x∈(1,2)上恒成立，设φ(x)＝－x＋4x，φ(x)＝－x＋4x∈(－5，－4)，故m≤－5.方法二设f(x)＝x2＋mx＋4，因为当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋40恒成立，所以f1≤0，f2≤0，即5＋m≤0，8＋2m≤0，解得m≤－5.题型三一元二次不等式的实际应用例3某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？思维启迪：(1)依据“年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量”写出；(2)年利润有所增加，即y－(12－10)×100000，解此不等式即可得x的范围．解(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000×(1＋0.6x)(0x1)，整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000(0x1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有y－12－10×100000，0x1，即－6000x2＋2000x0，0x1，解得0x13，所以投入成本增加的比例应在0，13范围内．探究提高不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________．答案20解析由题意得，3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)．∴x≥20，即x的最小值为20.解与一元二次不等式有关的恒成立问题典例：(14分)设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围．审题视角(1)对于x∈R，f(x)0恒成立，可转化为函数f(x)的图象总是在x轴下方，可讨论m的取值，利用判别式求解．(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．规范解答解(1)要使mx2－mx－10恒成立，[2分]若m＝0，显然－10；若m≠0，则m0，Δ＝m2＋4m0⇒－4m0.[4分]所以－4m≤0.[6分](2)要使f(x)－m＋5在[1,3]上恒成立，即mx－122＋34m－60在x∈[1,3]上恒成立．[8分]有以下两种方法：方法一令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]．当m0时，g(x)在[1,3]上是增函数，[8分]所以g(x)max＝g(3)⇒7m－60，所以m67，则0m67；[10分]当m＝0时，－60恒成立；[11分]当m0时，g(x)在[1,3]上是减函数，[12分]所以g(x)max＝g(1)⇒m－60，所以m6，所以m0.综上所述：m的取值范围是{m|m67}．[14分]方法二因为x2－x＋1＝x－122＋340，又因为m(x2－x＋1)－60，所以m6x2－x＋1.[10分]因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m67即可．[12分]所以，m的取值范围是m|m67.[14分]对于给定区间上的不等式恒成立问题，一般可根据以下几步求解：第一步：整理不等式(或分离参数)；第二步：构造函数g(x)；第三步：求函数g(x)在给定区间上的最大值或最小值；第四步：根据最值构造不等式求参数；第五步：反思回顾，查看关键点，易错点，完善解题步骤．温馨提醒1.与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．2．解决恒成立