高中数学【Word版题库】6.2等差数列及其前n项和

6.2等差数列及其前n项和一、填空题1.已知{na}为等差数列,且743210aaa则公差d等于________.解析7433242()21aaadadd解得12d.答案122．在等差数列{an}中，a1＞0，S4＝S9，则Sn取最大值时，n＝________.解析因为a1＞0，S4＝S9，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，所以a6＞0，a8＜0，从而当n＝6或7时Sn取最大值．答案6或73．等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a6＋a7＝________.解析因为2a4＝a3＋a5，所以3a4＝12，即a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a6＋a7＝7a4＝28.答案284．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若1≤a5≤4,2≤a6≤3，则S6的取值范围是________．解析设an＝a1＋(n－1)d，则由1≤a5≤4，2≤a6≤3，解1≤a1＋4d≤4，2≤a1＋5d≤3，所以S6＝6a1＋15d＝15(a1＋4d)－9(a1＋5d)∈[－12,42]．答案[－12,42]5．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为________．解析S11＝a1＋a112＝a2＋a102＝11×42＝22.答案226.等差数列{na}前9项的和等于前4项的和.若1410kaaa则k=.解析由题意94SS得567890aaaaa.∴750a即70a.又471047022kaaaaaa∴k=10.答案107．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋pn，a7＝11.若ak＋ak＋1＞12，则正整数k的最小值为________．解析因为a7＝S7－S6＝2×72＋7p－2×62－6p＝26＋p＝11，所以p＝－15，Sn＝2n2－15n，an＝Sn－Sn－1＝4n－17(n≥2)，当n＝1时也满足．于是由ak＋ak＋1＝8k－30＞12，得k＞214＞5.又k∈N*，所以k≥6，即kmin＝6.答案68．数列{an}是等差数列，若a11a10＜－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝________.解析由题意，可知数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11＜a10，又因为a11a10＜－1，所以a10＞0，a11＜－a10，由等差数列的性质有a11＋a10＝a1＋a20＜0，a10＋a10＝a1＋a19＞0，所以Sn取得最小正值时n＝19.答案199．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1，S4S2＝4，则S6S4的值为________．解析由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由S4S2＝4得S4－S2S2＝3，则S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，S6S4＝94.答案9410．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，且SnTn＝7n＋1n＋3，则a2＋a5＋a17＋a22b8＋b10＋b12＋b16＝________.解析a2＋a5＋a17＋a22b8＋b10＋b12＋b16＝a11＋a12b11＋b12＝a1＋a22b1＋b22＝S22T22＝7×22＋122＋3＝315.答案31511．已知函数f(x)＝2x，等差数列{an}的公差为2.若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝________.解析依题意a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝2－5×2＝－8，∴f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)＝2a1＋a2＋…＋a10＝2－6⇒log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝－6.答案－612．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，a2＝2，b1＝2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i＋j＝k＋l时，都有ai＋bj＝ak＋bl，则12010i＝12010(ai＋bi)的值是________．解析由题意得a1＋b2010＝a2＋b2009＝a3＋b2008＝…＝a2009＋b2＝a2010＋b1.所以i＝12010ai＋bi)＝2010(a1＋b2010)故12010i＝12010ai＋bi)＝12010×2010(a1＋b2010)＝a1＋b2010.下面求b2010.令i＝1，j＝n，k＝2，l＝n－1，即a1＋bn＝a2＋bn－1，则bn－bn－1＝a2－a1＝1，所以{an}是以b1＝2为首项，以d＝1为公差的等差数列，所以b2010＝2＋(2010－1)＝2011.所以a1＋b2010＝1＋2011＝2012.答案201213．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式an＝________.解析由an＋1＝f(2n＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2an＋2n＋1，得an＋12n＋1＝an2n＋1，所以an2n是首项为1，公差为1的等差数列，所以an2n＝n，an＝n·2n.答案n·2n二、解答题14．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．思路分析第(1)问建立首项a1与公差d的方程组求解；第(2)问建立首项a1与公差d的方程，利用完全平方公式求范围．解析(1)由题意知S6＝－15S5＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以5a1＋10d＝5，a1＋5d＝－8.解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0，故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－22或d≥22.【点评】方程思想在数列中常常用到，如求通项an及Sn时，一般要建立首项a1与公差d(或公比q)的方程组．15.已知曲线C:xy-4x+4=0,数列{na}的首项14a且当2n时,点1()nnaa恒在曲线C上,且nb12na试判断数列{nb}是否是等差数列?并说明理由.解析∵当2n时,点1()nnaa恒在曲线C上,∴11440nnnaaa.由12nnba得:当2n时111111122422nnnnnnnnnnaabbaaaaaa11142244nnnnnaaaaa1122nnnnaaaa12.∴数列{nb}是公差为12的等差数列16．已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)，且a3＝27.(1)求a1，a2的值；(2)记bn＝12n(an＋t)(n∈N*)，问是否存在一个实数t，使数列{bn}是等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．解析(1)由a3＝27，得2a2＋23＋1＝27，所以a2＝9.又由2a1＋22＋1＝9，得a1＝2.(2)假设存在实数t，使得数列{bn}是等差数列，则2bn＝bn－1＋bn＋1，即2×12n(an＋t)＝12n－1(an－1＋t)＋12n＋1(an＋1＋t)，即4an＝4an－1＋an＋1＋t，所以4an＝4×an－2n－12＋2an＋2n＋1＋t＋1，所以t＝1.故存在t＝1，使得数列{bn}是等差数列．17．在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝Snn＋c(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解析(1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0，则由a2a3＝45，a1＋a5＝18，得a1＋da1＋2d＝45，a1＋a1＋4d＝18.解得a1＝1，d＝4.∴an＝4n－3(n∈N*)．(2)由bn＝Snn＋c＝n＋4n－2n＋c＝2nn－12n＋c，∵c≠0，∴可令c＝－12，得到bn＝2n.∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{bn}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c＝－12，使数列{bn}也为等差数列．18．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－14an，bn＝22an－1，其中n∈N*.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)设cn＝(2)bn，试问数列{cn}中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．解析(1)因为bn＋1－bn＝22an＋1－1－22an－1＝221－14an－1－22an－1＝4an2an－1－22an－1＝2(n∈N*)，且b1＝22×1－1＝2所以，数列{bn}以2为首项，2为公差的是等差数列．(2)由(1)得cn＝(2)bn＝2n，假设{cn}中存在三项cm，cn，cp(其中m＜n＜p，m，n，p∈N*)成等差数列，则2·2n＝2m＋2p，所以2n＋1＝2m＋2p,2n－m＋1＝1＋2p－m.因为m＜n＜p，m，n，p∈N*，所以n－m＋1，p－m∈N*，从而2n－m＋1为偶数，1＋2p－m为奇数，所以2n－m＋1与1＋2p－m不可能相等，所以数列{cn}中不存在可以构成等差数列的三项．