高中数学2-3-2第2章第2课时等比数列的性质同步检测新人教B版必修5

1第2章2.3第2课时等比数列的性质一、选择题1．在等比数列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，则a8＋a9等于()A．90B．30C．70D．40[答案]D[解析]∵q2＝a6＋a7a4＋a5＝2，∴a8＋a9＝(a6＋a7)q2＝20q2＝40.2．等比数列{an}各项为正数，且3是a5和a6的等比中项，则a1·a2·…·a10＝()A．39B．310C．311D．312[答案]B[解析]由已知，得a5a6＝9，∴a1·a10＝a2·a9＝a3·a8＝a4·a7＝a5·a6＝9，∴a1·a2·…·a10＝95＝310.3．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则a29a11的值为()A．9B．1C．2D．3[答案]D[解析]a3a5a7a9a11＝a51q30＝243，∴a29a11＝a1q82a1q10＝a1q6＝5243＝3.4．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．16[答案]C[解析]∵a3a11＝a27＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.5．在等比数列{an}中，anan＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则a6a16等于()A.32B.232C.16D．6[答案]A[解析]∵a7·a11＝a4·a14＝6a4＋a14＝5，解得a4＝3a14＝2或a4＝2a14＝3.又∵anan＋1，∴a4＝3，a14＝2.∴a6a16＝a4a14＝32.6．(2010·湖北文)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8＝()A．1＋2B．1－2C．3＋22D．3－22[答案]C[解析]设等比数列{an}的公比为q，∵a1，12a3,2a2成等差数列，∴a3＝a1＋2a2，∴a1q2＝a1＋2a1q，∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±2，∵各项都是正数，∴q0，∴q＝1＋2，∴q9＋a10a7＋a8＝q2＝(1＋2)2＝3＋22.二、填空题7．等比数列{an}中，an0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5等于________．[答案]27[解析]由题意，得a1＋a2＝1，a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝9，∴q2＝9，又an0，∴q＝3.故a4＋a5＝(a3＋a4)q＝9×3＝27.8．已知等比数列{an}的公比q＝－13，则a1＋a3＋a5＋a7a2＋a4＋a6＋a8等于________．[答案]－3[解析]a1＋a3＋a5＋a7a2＋a4＋a6＋a8＝a1＋a3＋a5＋a7a1q＋a3q＋a5q＋a7q3＝1q＝－3.三、解答题9．在等比数列{an}中，已知a4·a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10.[解析]∵a4·a7＝a3·a8＝－512，∴a3＋a8＝124a3·a8＝－512，解得a3＝－4a8＝128或a3＝128a8＝－4.又公比为整数，∴a3＝－4，a8＝128，q＝－2.∴a10＝a3·q7＝(－4)×(－2)7＝512.10．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列．求数列{an}前20项的和S20.[解析]设数列{an}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.由a3，a6，a10成等比数列得a3a10＝a26，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0或d＝1.当d＝0时，S20＝20a4＝200，当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，于是，S20＝20a1＋20×192d＝20×7＋190＝330.能力提升一、选择题1．已知公差不为零的等差数列的第k、n、p项构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比为()A.n－pk－nB.p－np－kC.n－kn－pD.k－pn－p[答案]A[解析]设等差数列首项为a1，公差为d，则q＝anak＝apan＝ap－anan－ak＝[a1＋p－d]－[a1＋n－d][a1＋n－d]－[a1＋k－d]＝p－nn－k＝n－pk－n.42．如果数列{an}是等比数列，那么()A．数列{a2n}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lgan}是等比数列D．数列{nan}是等比数列[答案]A[解析]设bn＝a2n，则bn＋1bn＝a2n＋1a2n＝(an＋1an)2＝q2，∴{bn}成等比数列；2an＋12an＝2an＋1－an≠常数；当an0时，lgan无意义，设cn＝nan则cn＋1cn＝n＋an＋1nan＝n＋1nq≠常数．二、填空题3．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是__________．[答案]3或27[解析]设此三数为3，a，b则2a＝3＋ba－2＝3b，解得a＝3b＝3，或a＝15b＝27.∴这个未知数为3或27.4．一种专门占据内存的计算机病毒的大小为2KB，它每3s自身复制一次，复制后所占内存是原来的两倍，则内存为64MB(1MB＝210KB)的计算机开机后经过________s，内存被占完．[答案]45[解析]计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列{an}，且a1＝2×2＝4，q＝2，则an＝4·2n－1，令4·2n－1＝64×210，得n＝15，即复制15次，共用45s.三、解答题5．设正整数数列{an}为一个等比数列，且a2＝4，a4＝16，求lgan＋1＋lgan＋2＋…＋lga2n.[解析]由a2＝4，a4＝16，得a1＝2，q＝2，∴an＝2n.∴lgan＋1＋lgan＋2＋…＋lga2n＝lg(an＋1·an＋2·…·a2n)＝lg2(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n＝lg23n2＋n2＝12(3n2＋n)lg2.56．已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列；(2)求an的通项公式．[解析](1)由已知得an＋1＝a2n＋2an，∴an＋1＋1＝a2n＋2an＋1＝(an＋1)2∵a1＝2，∴an＋1＋1＝(an＋1)20，∴lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)即＋an＋1＋an＝2，且lg(1＋a1)＝lg3∴{lg(1＋an)}是首项为lg3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，lg(1＋an)＝2n－1·lg3＝lg32n－1∴1＋an＝32n－1∴an＝32n－1－1.7．容积为aL(a1)的容器盛满酒精后倒出1L，然后加满水，混合溶液后再倒出1L，又用水加满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2，至少应倒出几次后才可以使酒精浓度低于10%.[解析]开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是a1＝1－1a.设操作n次后溶液的浓度是an，则操作n＋1次后溶液的浓度是an＋1＝an(1－1a)．所以{an}构成以a1＝1－1a为首项，q＝1－1a为公比的等比数列．所以an＝a1qn－1＝(1－1a)n，即第n次操作后溶液的浓度是(1－1a)n.当a＝2时，由an＝(12)n110，得n≥4.因此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.