高中必修1-5错误解题分析系列-《43数列的综合应用》

第第四四章章数数列列§4.3数列的综合应用一、知识导学1.数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2.应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.二、疑难知识导析1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式000011nnnnaaaa或解决；2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；3.等差数列中,am=an+(n－m)d,nmaadnm;等比数列中，an=amqn-m;mnmnaaq4.当m+n=p+q（m、n、p、q∈N）时，对等差数列｛an｝有：am+an=ap+aq；对等比数列｛an｝有：aman=apaq；5.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}(k、b是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列；7.对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶-S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈N）；8.若一阶线性递推数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1(11kbakkbann(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、经典例题导讲[例1]设na是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：12122121log2loglognnnSSS＞。错解：欲证12122121log2loglognnnSSS＞只需证22121loglognnSS＞2121lognS即证：)(log221nnSS＞2121lognS由对数函数的单调性，只需证)(2nnSS＜21nS2nnSS－21nS＝221212221)1()1()1()1)(1(qqaqqqannn＝－021nqa2nnSS＜21nS原不等式成立.错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.正解：欲证12122121log2loglognnnSSS＞只需证22121loglognnSS＞2121lognS即证：)(log221nnSS＞2121lognS由对数函数的单调性，只需证)(2nnSS＜21nS由已知数列na是由正数组成的等比数列，q0,01a.若1q,则2nnSS－21nS＝2111])1[()2(ananna＝－21a＜0；若1q,2nnSS－21nS＝221212221)1()1()1()1)(1(qqaqqqannn＝－021nqa2nnSS＜21nS原不等式成立.[例2]一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）错解：因球每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形成了一公比为21的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，共经过的路程应为前10项之和.即211])21(1[1001010S＝199（米）错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了21002＝100（米）…因此到球第10次着地时共经过的路程为8322100210021002100100100＝211])21(1[1001009300（米）答：共经过300米。[例3]一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？错解：年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a19=a(1+r)18.错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a元.正解：不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息入手考虑，出生时的a元到18年时变为a(1+r)18，1岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)17，2岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)16，……17岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)1，a(1+r)18+a(1+r)17+…+a(1+r)1＝)1(1])1(1)[1(18rrra＝)]1()1[(19rrra答：取出的钱的总数为)]1()1[(19rrra。[例4]求数列,)23(1,,101,71,41,11132naaaan的前n项和。解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则)23(11naann)]23(741[)1111(12naaaSnn当1a时，232)231(2nnnnnSn当1a时，2)13(12)231(11111nnaaannaaSnnnnn[例5]求数列,)1(6,,436,326,216nn前n项和解：设数列的通项为bn，则)111(6)1(nnnnbn16)111(6)]111()3121()211[(621nnnnnbbbSnn[例6]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且)()21(2NnaSnn，求数列{an}的前n项和解：取n=1，则1)21(1211aaa又由2)(1nnaanS可得：21)21(2)(nnaaan12)(1*naNnann2)12(531nnSn[例7]大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a，则]2)1([)](21[0)121(22nnknkaknkaS当n为奇数时，取21nkS达到最小值当n为偶数时，取222nnk或S达到最大值四、典型习题导练1．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？2．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)3．已知数列na中，nS是它的前n项和，并且241nnaS，11a（1）设nnnaab21，求证数列nb是等比数列；（2）设nnnac2，求证数列nc是等差数列。4.在△ABC中，三边cba,,成等差数列，cba,,也成等差数列，求证△ABC为正三角形。5．三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。6.已知是一次函数，其图象过点，又成等差数列，求)()2()1(nfff的值.