高等数学总复习指导

高等数学总复习指导（1）本学期高等数学课程的内容是一元函数微积分、级数和常微分方程，共8章内容。同学们学习时应抓住重点，围绕基本概念和基本方法进行训练和学习，下面逐章指出各章的重点，并结合重点给出相应的典型例题，希望能对大家的学习提供一定的帮助。第一章函数本章重点：1．函数概念及其性质理解函数的概念，了解决定函数的要素是定义域和对应关系，能根据这两个要素判别两个函数是否相等。能熟练地求出函数的定义域和函数值。了解函数的周期性、奇偶性、单调性、和有界性，特别是要会判断函数的奇偶性。例1求下列函数的定义域（1）43)1ln(1xxxy（2）2ln221xxxxy解（1）函数的定义域是0430)1ln(01xxx解得3421xxx即函数的定义域是34x且2x。（2）分段函数的定义域是所有定义区间的并集，此分段函数的定义域是2x或2x，但xln的定义域是0x，故综合起来可知所求函数的定义域是0x。例2若函数xxf2sin)2(，求)0(),1(),(fxfxf。解已知xxf2sin)2(，即)22(2sin)2(xxf根据函数概念可知)2(2sin)(xxf，（即下划线的部分替换成x）)21(2sin)1(xxf，（即下划线的部分替换成x1）)20(2sin)0(f＝4sin，（即下划线的部分替换成0）规范以上的做法就是：设tx2，则2tx将2tx代入xxf2sin)2(中，即有)2(2sin)(ttf，令xt，则有)2(2sin)(xxf令xt1，则有)21(2sin)1(xxf令0t，则有)20(2sin)0(f＝4sin例3（1）下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？A．2ln)(,ln2)(xxgxxfB．12ln)(xxxf，)1ln()2ln()(xxxgC．xexxgxexxxfxx)(,)()(2D．1)(,11)(2xxgxxxf（2）下列函数中，哪个函数是奇函数？A．)12sin()(xxxfB．)1ln()(2xxxfC．xexxfx)(D．xxxxfsin1)(2解（1）A,B,D中两个函数的定义域都不相同，故它们不是同一函数，C中函数2)()(xexxxfx的定义域是0x，对应关系可化为)()()(2xgxexxexxxfxx故这两个函数是相同的函数。（2）由奇函数的定义验证A,C可知它们都不满足)()(xfxf，D满足)()(xfxf，即它为偶函数验证B)1)(()1)((ln)1)(ln()(22222xxxxxxxf)()1ln(11ln22xfxxxx故此函数是奇函数。2．基本初等函数熟练掌握六类基本初等函数的定义域、性质和图形。这些内容在今后的学习过程中，要经常用到。3．复合函数和初等函数的概念了解复合函数、初等函数的概念，会分析复合函数的复合过程，能把一个复合函数分解成几个简单函数。这在学习第三章导数与微分内容时要用到。例4将函数)]1ln(21cos[2xy分解成几个简单函数。解uycos，vu1，wv2，swln，12xs。第二章极限与连续本章重点：1．极限的计算了解极限的概念，知道左右极限的概念，知道函数在点0x处存在极限的充分必要条件是)(xf在0x处的左右极限存在且相等。关于极限的计算，要熟练掌握以下几种常用方法：（1）极限的四则运算法则：运用时要注意法则的条件是各个部分的极限都存在，且分母不为0。当所求极限不满足条件时，常根据函数的具体情况进行分解因式（以消去零因子）、或无理式的有理化、或三角函数变换、或分子分母同时除以nx（分子分母同趋于无穷大时）等变形手段，以使函数满足四则运算法则的条件。（2）两个重要极限：熟记exxxxxx)11(lim,1sinlim0，要注意这两个公式自变量的变化趋势以及相应的函数表达式，同时要熟悉它们的变形形式：exxxxxx10)1(lim,11sinlim。（3）利用无穷小的性质计算：无穷小量是指极限为0的量，有限个无穷小量之和、积都是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。（5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。例1求下列极限（1）1002872)43()12()1(limxxxx（2）11cos1lim20xxx（3）xxx1sinlim20（4）xxx10)21(lim（5）)ctgsincos(lim220xxxx（6）)3(lim22xxxxx解（1）分子、分母同除以100x，则1002872)43()12()1(limxxxx＝1002872)43()12()11(limxxxx＝1002872)43(lim)12(lim)11(limxxxxxx＝1002832（2）首先将分母有理化，然后在利用重要极限计算11cos1lim20xxx＝)11)(11()11)(cos1(lim2220xxxxx＝1)1()11)(cos1(lim2220xxxx＝)11(lim)cos1(lim2020xxxxx＝)11(lim2sin2lim20220xxxxx＝1221（3）由于0x时，有02x，11sinx，因此xx1sin2还是无穷小量，故01sinlim20xxx（4）xxx10)21(lim＝2210])21(lim[xxx＝2e（5）)ctgsincos(lim220xxxx＝xxxx220sincoscoslim＝xxxx20sin)cos1(coslim＝xxxxxx2220sincos1coslim＝211211（6）)3(lim22xxxxx＝xxxxxxxxxxxxx2222223)3)(3(lim＝xxxxxx2234lim＝xxx11314lim2＝21142．函数连续理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义①)(xf在0x的一个邻域内有定义；②)(xf在0x处存在极限；③极限值等于)(xf在0x处的函数值，这三点缺一不可。若函数)(xf在0x至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断点。了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最小值存在定理、零点定理、介值定理）。例2讨论函数0sin10001sin)(xxxxxxxxf在0x处的连续性。解)(xf的定义域为),(01sinlim)(lim00xxxfxx1sin1lim)(lim00xxxfxx由于)(xf在0x点处的左右极限不相等，故极限不存在，因此函数)(xf在0x点间断。（补充说明：由于0)0(f，所以)(xf在0x点左连续，它的连续区间应为为]0,(，),0(。）