高等数学考研辅导练习11-12重积分曲线积分与曲面积分

《高等数学》考研辅导练习11重积分及其应用1．改变积分顺序：（1）2224205252525(,)(,)xxxdxfxydydxfxydy；（2）111422104(,)(,)yyydyfxydxdyfxydx；2．计算二重积分221()2()xyDyyxed，这里的:,1Dyxy以及1x围的平面区域。3．计算二重积分Dyd，这里的:2,0,2Dxyy以及曲线22xyy围的平面区域。4．求22()22sin()xyDIexyd，这里的22:Dxy。5．求222224Dxydaxy，这里的22:(0)Dyaaxa和yx所围区域。6．求22max,xyDIed，这里的:01,01Dxy。7．设D是xOy平面上以(1,1),(1,1),(1,1)围顶点的三角形区域，1D是D在第一象限部分，则(cossin)Dxyxyd等于（）。1()2cossinDAxydxdy；1()2DBxydxdy；1()4(cossin)DCxyxydxdy；()0D。8．设222:DxyR，求2222()DxyIdab。9．求球面2222(0)xyzRR被平面4az与2az所夹部分的面积。10．求2DIyxdxdy，这里的:1,02Dxy。11＇．填空(23)Dxydxdy，其中:1Dxy。12．已知()fx在[,]ab上连续，试证对于大于1的自然数n，有211()()()()1bxbnnaaadxxyfydybyfydyn。13．求()VIxzdV，这里22:Vzxy与221zxy围成的立体。14．求22VIzxydV，这里222:2Vxyz的上半球面与22zxy所围立体。15．计算222()VxyzdV，这里22:Vzxy与上半曲面2222xyzR所围立体(0)R。16．计算2VxdV，这里222:2Vxyzz。17．计算22()VxyzdV，这里22:Vzxy与221xy以及0z所围立体。18．求22()VxyzdV，这里:V由曲线220yzx绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z所围的立体。19．设函数()fx连续，且恒大于零，22222()()222()()()(),()()()tDtttDtfxyzdVfxydFtGtfxydfxdx，其中2222222()(,,)|,()(,)|txyzxyztDtxyxyt。（1）讨论()Ft在(0,)内的单调性；（2）证明，当0t时，2()()FtGt。练习12曲线积分与曲面积分1．设是锥面22(01)zxyz的下侧，则23(1)xdydzydzdxzdxdy＝。2．设是由锥面22zxy和半球面222zRxy围成的空间区域，是的整个边界外侧。则xdydzydzdxzdxdy＝。3．计算曲线积分2sin22(1)Lxdxxydy，其中L是曲线sinyx上从点(0,0)到点(,0)的一段。4．设曲面是锥面224zxy的上侧，则2xydydzxdzdxxdxdy＝。5．设222rxyz，则(1,2,2)()|divgradr。6．计算曲线积分222222()()()LIyzdxzxdyxydz，其中L是用平面32xyz截立方体(,,)|01,01,01xyzxyz的表面所得截痕，若从Ox轴的正向看去，取逆时针方向。7．设L为椭圆22143xy，其周长记为a，则22(234)Lxyxyds。8．计算曲线积分()()()Lzydxxzdyxydz，其中L是曲线2212xyxyz，从Oz轴正向往Oz轴的负向看去，取顺时针方向。9．计算曲线积分22(1)(1)Lydxxdyxy：（1）L为圆周2220xyy的正向；（2）L为椭圆22480xyx的正向。10．设曲线L是正向圆周22()()1xaya，()x是连续的正函数，证明()2()Lxdyyxdxy。11．设函数()fx在(,)内具有一阶连续导数，L是上半平面(0)y内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)ab，终点为(,)cd。记2221(1())(()1)LLxIyfxydxyfxydyyy，（1）证明曲线积分I与路径L无关；（2）当abcd时，求I的值。12．求SxyzdS，S为抛物面22(01)zxyz。13．求具有连续二阶导数的函数()fx，使得(ln())()0Lyxfxdxfxdyx，其中L为xOy平面上第一象限内任意一条光滑闭曲线。14．求a的值，使((2))(()1)xyxyeexyaydxeexydy为某一函数(,)uuxy的全微分，并求(,)uxy。15．计算22(4)(3)(3)(4)Cydxxdyxy，C为以O为心，边长为12的正方形的四边，取逆时针方向。16．设()fu具有一阶连续的导数，证明对任意光滑闭曲线L，有()()0Lfxyydxxdy。17．已知曲线积分21()()LxdyydxAxy，A为常数，()x是一可导函数，(1)1。L是绕原点(0,0)一周的任意正向闭曲线。试求出()x及A。18．计算212222()()axdydzzadxdyIxyz，其中为222(0)zaxya的上侧。