高等数学下册第十一章综合练习题答案

第十一章自测题参考答案一、填空题：1.dsRQPcoscoscos切向量2.dSRQPcoscoscos法向量3.DdxdyyPxQ4.05.46.27.08.1010,dyyxfdx，1010,dyyxfdx，09.LdsxxyxP22,二、选择题：1.C2.C3.A4.A5.D三、计算题：1.解由于曲线L表达式中x,y,z是对称的，所以Ldsx2=Ldsy2=Ldsz2，故Ldsx2=dszyx22231=3223223131aaadsaL.2.解原式=20sincos1cos12dtttt202sinsindttt=202sin2121tt=3.解记222:yxazS，D：xoy平面上圆域222ayx原式=dxdyyzxzyxayxD222221=Ddxdyyxayxayxa2222221注意到积分区域D关于坐标轴的对称性及被积函数的奇偶性知Ddxdyyxax222=Ddxdyyxay222=0，所以原式=Ddxdya=2aa=3a.4.解利用高斯公式原式=dxdydzzyx2其中为S所围成的空间区域。由关于坐标平面的对称性知xdxdydz=ydxdydz=0，所以，原式=zdxdydz2=1222yxDzdzdxdyxy=xyDdxdyyx221=102201dd=24125.解原式=202222sincos1cos1dttatata=20253cos12dtta=20253sin8dtat=duua053sin16=315256a6.解xfyxQyxfeyxPx,,,要使曲线积分与路径无关，当且仅当xQyP，即xfxfex解此微分方程可得xxeCexf21，又210f，所以C=1,故xxeexf21现在计算从0,0A到1,1B的曲线积分的值.由于积分与路径无关，故选取有向折线________CBAC进行积分，其中0,1C。在____AC上，0,10:,0dyxy，在____CB上，0,10:,1dxyx，所以此时该积分的值为dyxfydxxfex1,10,0=1,10,02121dyeeydxeexxxx=10121dyee=121ee.四、证明题：1.证明应用高斯公式就有Sdxdyxyzzdzdxzxydydzyzx12222=Vdxdydzxyzxyzxyz212222=Vdxdydzxyz21显然，MdxdydzV，注意到空间区域V关于yoz平面是对称的，且函数xyz是关于x的奇函数，故0Vxyzdxdydz，由此即得SdxdyxyzzdzdxzxydydzyzxM122222.证明设yxyx,,,11为在曲线C上点yx,处的外法线n的方向角，yxyx,,,22为该点处的切线正向的方向角，33,为射线l的方向角，则n方向的单位向量为)cos,(cos11，射线l的方向的单位向量为33cos,cos，故3131coscoscoscos,cosnl注意到121222，故有2121coscoscoscos，所以3232coscoscoscos,cosnl根据两类曲线积分之间的关系有dsdsnlCC3232coscoscoscos,cos=Cdydx33coscos注意到33cos,cos均为常数的事实，并应用格林公式即得0,cosCdsnl.3.证明证法1（1）左边=0sin0sindxedyexy=0sinsindxeexx右边=0sin0sindxedyexy=0sinsindxeexx所以LxyLxydxyedyxedxyedyxesinsinsinsin.（2）由于2sinsinxxee，故由（1）得Lxydxyedyxesinsin=0sinsindxeexx22证法2（1）根据格林公式，得Lxydxyedyxesinsin=DxydeesinsinLxydxyedyxesinsin=Dxydeesinsin因为D关于y=x对称，所以Dxydeesinsin=Dxydeesinsin故LxyLxydxyedyxedxyedyxesinsinsinsin（2）由（1）知Lxydxyedyxesinsin=Dxydeesinsin=Dxxdeesinsin.222Dd