高三数学训练题组--导数及其应用

共9页第1页高三数学训练题导数及其应用（1）设曲线在某点的切线斜率为负数，①则此切线的倾斜角（），②曲线在该点附近的变化趋势是（）①(A)小于90(B)大于90(C)小于或等于90(D)大于或等于90②(A)单调递增(B)单调递减(C)无变化(D)以上均有可能(2)①21)(xxxf有()个极值点;②xxxxf33)(23有()个极值点(A)0(B)1(C)2(D)3(3)如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的关系，(1)（2）（3）（4）hhhhtttt(a)(b)(c)(d)A.(1)(c)(2)(a)(3)(b)(4)(d)B.(1)(c)(2)(b)(3)(a)(4)(d)C.(1)(c)(2)(d)(3)(a)(4)(b)D.(1)(c)(2)(a)(3)(d)(4)(b)(4)一个距地心距离为r，质量为m的人造卫星，与地球之间的万有引力F由公式2rGMmF给出，其中M为地球质量，G为常量，求F对于r的瞬时变化率为.(5)一杯C80的热红茶置于C20的房间里，它的温度会逐渐下降，温度T（单位C）与时间t（单位：min）之间的关系由函数)(tfT给出，则①)(tf的符号为；②4)3(f的实际意义是.(6)已知圆面积为2rS，利用导数的定义求()Sr，试解释其意义.（7）①求函数xey在ex处的切线的方程；②过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.（8）已知函数xxxf12)(3，①求函数的单调区间；②求函数的极值，并画出函数的共9页第2页草图；③当1,3x时，求函数的最大值与最小值.（9）欲制作一个容积为2立方米的圆柱形储油罐（有盖），问它的底面半径与高分别为多少时，才能使所用的材料最省？(10)利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：)0(lnxexxxB组(其中１４，１５，１６，１７为理科题)共9页第3页（１１）函数22)(xxf的导数是（）(A)xxf4)((B)xxf24)((C)xxf28)((D)xxf16)(（１2）函数xexxf)(的一个单调递增区间是(A)0,1(B)8,2(C)2,1(D)2,0(１3)如图，直线l和圆C，当l从0l开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数图象大致是(画草图)ClSO0lOt(14)（理科）弹簧所受的压缩力F与缩短的距离按胡克定律klF计算.如果N10的力能使弹簧压缩cm1，那么把弹簧从平衡位置压缩cm10（在弹性限度内），要做的功为（15）（理科）利用定积分的几何意义求dxx2024（16）（理科）有一质量非均匀的木棒，已知其线密度为3)(xx（取细棒所在的直线为x轴，细棒的一端为原点），棒长为1，用定积分表示细棒的质量为M=（17）（理科）求由曲线2xy与22xy围成的平面图形的面积.（18）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90度角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？共9页第4页（19）有一印刷品的排版面积（矩形）为400cm2，版心的左右各留4cm2的空白，上下各留4cm的空白，①怎样确定版心的高与宽的尺寸，才能使印刷品所用纸张面积最小？②若实际情况要求版面的高不超过16cm，又应当怎样确定版心的高与宽的尺寸，才能使印刷品所用纸张面积最小？（20）已知函数xxxf1ln)(，若，证明：xxx1ln111共9页第5页（九）导数及其应用A组参考答案或提示：（1）①A，②B(2)①C，②A；导函数值恒大于或等于零，函数总单调递增（图略）(3)D（4）32rGMmF（5）①,0)(tf因为红茶的温度在下降；②4)3(f的实际意义是在min3附近红茶温度约以min/4C的速率下降.（6）由定义得：()2Srr，半径为r的圆面积的瞬时变化率为其周长。(7)解：①切点为(,),|,eeexeeeyeke，由点斜式得exeeyee，即eeeeexey1.②设切点为00000,,|,,xxxxxxeyeke由点斜式得000xxeeyxx，切线过原点，,1,0),0(000000xexeexxx切点为),,1(e,ek由点斜式，得：),1(xeey即：.exy（8）解：①,223123)(2xxxxf由0)(xf，得2,2x，,2,2x函数单调递增；同理，,2,x或,,2x函数单调递减.②由①得下表：x2,22,22,2)(xf—0+0—)(xf单调递减极小值f(-2)单调递增极大值f(2)单调递减)(,2xfx极小值=-16，)(,2xfx极大值=16.由f(-x)=-f(x)，知f(x)是奇函数，得草图如图所示：共9页第6页(9)解：设圆柱的底面半径为r，高为h，表面积为y，则由题意有：22rh，22hr，且224222yrrhrr，则244yrr，令2440yrr，得1r.当01r时，0y，函数单调递减，当1r时，0y，函数单调递增，所以，当1r时，函数有极小值也是最小值6（平方米），答：当底面半径为1米，高为2米时，所用材料最省.(10)证明：（1）构造函数)0(ln)(xxxxfxxxxf111)()0(x，当,1x01f，得下表x10x11xxf+0—xf单调递增极大值1)1(f单调递减,0x总有,01)1()(fxf,0lnxx.lnxx（2）构造函数)0()(xxexgx，)0(1)(xexgx，当)(,0,0xgxgx单调递增，,0)(,010,0xggxgx即：xexexx,0.综上，不等式)0(lnxexxx成立，如右图.xylnxyxey③结合①②及1,3x，得下表：x32,321,21)(xf—0+)(xf端点函数值f(-3)=-9单调递减极小值f(-2)=-16单调递增端点函数值f(1)=11比较端点函数及极值点的函数值，得)()(,2minxfxfx极小值=f(-2)=-16,.11)1()(,1maxfxfx共9页第7页B组略解或提示:（１１）,42)(222xxxfxxf242)(xxf28)(;或24222)(xxxxfx28（理科要求：复合函数求导）（１２）.)(xxexexxf21)(xxxeexexf，S1,012xeexxx选(A)或.1,0.0)1(11)(xeexexexfxxxxOt（理科要求：复合函数求导）（１３）（14）J5解：由klF，得01.0210001000,1000,1000,01.01021.00lldlWlFkk5(15)利用导数的几何意义：24xy与x=0，x=2所围图形是以(0，0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为4242202dxx（图略）（16）dxxM103.由定积分的定义得．（17）由222xyxy，得11111122222211dxxdxxdxxSyx38113223xxS（图略）（18）解：设容器的高为xcm，则长方体的长为(90-2x)cm，宽为(48-2x)cm，容器的体积为3Vcm，xxxxxxxxxxV1080694432027642402482902323)36)(10(12)36046(1210806923422xxxxxxV，且240x，,10.0,2410,0,100xVxVxV有极大值，此极大值即为最大值.所以当x=10cm，V有最大值3196010cmV答：该容器高为10cm时，容积最大为.19603cm共9页第8页（19）解：①设版心的高为xcm，则版面的宽为0,400xcmx，设印刷品所用纸张面积为y3cm，则84008xxy46432008xx，,202083200822xxxxy当yyx,0,200单调递减，当yyx,0,20单调递增，yxyx,20,0,20极小=784)20(minyy另法：84008xxy,78446432008246432008xx当且仅当,32008xx即：20,4002xx时，所用纸张面积最小.②若实际情况要求版心的高不超过16cm，则只能考虑函数的单调性，由①知，yyx,0,20160单调递减（草图略），.792,16minyx答：①当版心设计高为20cm时，印刷品所用纸张面积最小；②若实际情况要求版心的高不超过16cm，则版心设计高为16cm时，印刷品所用纸张面积最小.（20）证明：（1）1111)(xxxxf)1(x，当,0x00f，得下表01x00xxf+0—xf单调递增极大值0)0(f单调递减,1x总有,0)0()(fxf,01lnxx.1lnxx另解1111)(xxxxf)1(x，当,0x00f，当01x，)(,0xfxf单调递增，,0)0()(,01fxfx……①当0x，)(,0xfxf单调递减，,0)0()(,0fxfx………………②当,0x00f…………………………………………………………③综合①②③得：当1x时，,0)(xf,01lnxx.1lnxx（2）构造函数,111)1ln()(xxxg2211111)(xxxxxg，共9页第9页当,0x00g，当,01x)(,0xgxg单调递减；当,0x)(,0xgxg单调递增；)(,0xgx极小值=0)0()(mingxg，,1x总有,0)0()(gxg,0111)1ln(xx即：)1ln(111xx.综上（1）（2）不等式xxx1ln111成立.