高三数学第一轮复习课时作业(12)变化率与导数导数的运算

课时作业(十二)第12讲变化率与导数、导数的运算时间：45分钟分值：100分基础热身1．2011·余姚模拟若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝02．2011·聊城模拟曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A．e2B．2e2C．4e2D.e223．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()A．－15B．0C.15D．54．2011·临沂模拟若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()A．1B.2C.22D.3能力提升5．有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()A.194B.174C.154D.1346．y＝cosx1－x的导数是()A.cosx＋sinx＋xsinx(1－x)2B.cosx－sinx＋xsinx(1－x)2C.cosx－sinx＋xsinx1－xD.cosx＋sinx－xsinx(1－x)27．已知直线l经过点Pπ4，1，且倾斜角为3π4，则下列曲线中与l相切于点P的是()A．y＝2sinxB．y＝2tanxC．y＝2cosxD．y＝2tanx8．2011·郑州模拟已知定义域为D的函数f(x)，如果对任意x1，x2∈D，存在正数K，都有∣f(x1)－f(x2)∣≤K∣x1－x2∣成立，那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)＝2x；②f(x)＝2sinx＋π4；③f(x)＝x－1；④f(x)＝lg(2x2＋1)，其中是“倍约束函数”的个数是()A．1B．2C．3D．49．曲线y＝5x3在点P(1,1)处的切线方程为()A．3x－5y＋2＝0B．y－x＝0C．5y－3x＝0D．3x＋5y－8＝010．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离为s＝27t－0.45t2(单位：米)，则列车刹车后________秒车停下来，期间列车前进了________米．11．如图K12－1所示，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.图K12－112．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数：①f(x)＝x2＋2x；②f(x)＝sinx＋cosx；③f(x)＝lnx－x；④f(x)＝－xex在0，π2上是凸函数的是________．(填序号)13．下列命题：①若f(x)存在导函数，则f′(2x)＝f(2x)′；②若函数h(x)＝cos4x－sin4x，则h′π12＝0；③若函数g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)…(x－2010)(x－2011)，则g′(2011)＝2010！；④若三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则“a＋b＋c＝0”是“f(x)有极值点”的充要条件．其中假命题为________．(填序号)14．(10分)设函数f(x)＝ax＋1x＋b(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数y＝f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．15．(13分)2011·六安模拟设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1x2，且对任意的x∈x1，x2，f(x)＋g(x)m(x－1)恒成立，求实数m的取值范围．难点突破16．(12分)已知抛物线C：y＝x2＋4x＋72，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M处的法线．(1)若C在点M的法线的斜率为－12，求点M的坐标(x0，y0)；(2)设P(－2，a)为C的对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．课时作业(十二)【基础热身】1．A解析y′＝4x3＝4，得x＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y－1＝4(x－1)，整理得4x－y－3＝0.2．D解析∵点(2，e2)在曲线上，∴切线的斜率k＝y′|x＝2＝ex|x＝2＝e2，∴切线的方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e2)，(1,0)，∴S＝12×1×e2＝e22.3．B解析因为f(x)是R上的可导偶函数，所以f(x)的图像关于y轴对称，所以f(x)在x＝0处取得极值，即f′(0)＝0，又f(x)的周期为5，所以f′(5)＝0，即曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为0，选B.4．B解析曲线上的点P到直线的最短距离，就是与直线y＝x－2平行且与y＝x2－lnx相切的直线上的切点到直线y＝x－2的距离．过点P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－lnx相切，设P(x0，x20－lnx0)，则k＝2x0－1x0，∴2x0－1x0＝1，∴x0＝1或x0＝－12(舍去)．∴P(1,1)，∴d＝|1－1－2|1＋1＝2.【能力提升】5．D解析∵s(t)＝t2＋3t，∴s′(t)＝2t－3t2，∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－34＝134.6．B解析y′＝－sinx(1－x)－(－1)cosx(1－x)2＝cosx－sinx＋xsinx(1－x)2.7．C解析显然点P不在曲线y＝2tanx和y＝2tanx上，易求得正确选项为C.8．C解析由|f(x1)－f(x2)|≤K|x1－x2|，得f(x1)－f(x2)x1－x2≤K，即曲线f(x)的切线的斜率的绝对值有最大值．对于①，f′(x)＝2，符合定义；对于②，|f′(x)|＝2cosx＋π4≤2，符合定义；对于③，f′(x)＝12x－1，不存在最大值；对于④，|f′(x)|＝4x(2x2＋1)ln10≤2ln10，符合定义．故选C.9．A解析y′＝35x－25，当x＝1时，k＝35，由点斜式得直线方程为y－1＝35(x－1)，即3x－5y＋2＝0，故选A.10．30405解析s′(t)＝27－0.9t，由瞬时速度v(t)＝s′(t)＝0得t＝30，期间列车前进了s(30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．11．2解析当x＝5时，y＝－x＋8＝－5＋8＝3，因此f(5)＝3，又切线斜率为－1，即f′(5)＝－1，故f(5)＋f′(5)＝2.12．②③④解析对于①f′(x)＝2x＋2，f″(x)＝20，因此①不是凸函数；对于②f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，∵x∈0，π2，∴sinx0，cosx0，∴f″(x)0，因此②是凸函数；对于③，f′(x)＝1x－1，f″(x)＝－1x20，因此③是凸函数；对于④，f′(x)＝－ex－xex，f″(x)＝－ex－ex－xex＝－(x＋2)ex0，因此④是凸函数．13．①②④解析f(2x)′＝f′(2x)(2x)′＝2f′(2x)，①错误；h′(x)＝4cos3x(－sinx)－4sin3xcosx＝－4sinxcosx＝－2sin2x，则h′π12＝－1，②错；f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，只需b2－3ac0即可，a＋b＋c＝0是b2－3ac0的充分不必要条件，④错．14．解答(1)f′(x)＝a－1(x＋b)2，于是2a＋12＋b＝3，a－1(2＋b)2＝0，解得a＝1，b＝－1，或a＝94，b＝－83.因a，b∈Z，故f(x)＝x＋1x－1.(2)证明：已知函数y1＝x，y2＝1x都是奇函数．所以函数g(x)＝x＋1x也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而f(x)＝x－1＋1x－1＋1.可知，函数g(x)的图像按向量a＝(1,1)平移，即得到函数f(x)的图像，故函数f(x)的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形．(3)证明：在曲线上任取一点x0，x0＋1x0－1.由f′(x0)＝1－1(x0－1)2知，过此点的切线方程为y－x20－x0＋1x0－1＝1－1(x0－1)2(x－x0)．令x＝1得y＝x0＋1x0－1，切线与直线x＝1交点为1，x0＋1x0－1.令y＝x得y＝2x0－1，切线与直线y＝x交点为(2x0－1,2x0－1)．直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12x0＋1x0－1－1|2x0－1－1|＝122x0－1|2x0－2|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2.15．解答(1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，由此解得a＝－2，b＝5；切线l的方程为：x－y－2＝0.(2)由(1)得f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x，依题意得：方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相等的根0，x1，x2，故x1，x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m)0⇒m－14；又对任意的x∈x1，x2，f(x)＋g(x)m(x－1)恒成立，特别地，取x＝x1时，f(x1)＋g(x1)－mx1－m成立，即0－m⇒m0，由韦达定理知：x1＋x2＝30，x1x2＝2－m0，故0x1x2，对任意的x∈x1，x2，有x－x2≤0，x－x1≥0，x0，则f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0；又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，所以函数在x∈x1，x2上的最大值为0，于是当m0时对任意的x∈x1，x2，f(x)＋g(x)m(x－1)恒成立．综上：m的取值范围是－14，0.【难点突破】16．解答(1)函数y＝x2＋4x＋72的导数y′＝2x＋4.C上点(x0，y0)处切线的斜率k0＝2x0＋4，因为过点(x0，y0)的法线斜率为－12，所以－12(2x0＋4)＝－1，解得x0＝－1，y0＝12，故点M的坐标为－1，12.(2)设M(x0，y0)为C上一点．①若x0＝－2，则C上点M－2，－12处的切线斜率k＝0，∴过点M－2，－12的法线方程为x＝－2，此法线过点P(－2，a)；②若x0≠－2，则过点M(x0，y0)的法线方程为y－y0＝－12x0＋4(x－x0)．①若法线过P(－2，a)，则a－y0＝－12x0＋4(－2－x0)，将y0＝x20＋4x0＋72代入得(x0＋2)2＝a，②若a0，则x0＝－2±a，从而y0＝x20＋4x0＋72＝2a－12，将上式代入①，化简得x＋2ay＋2－2aa＝0或者x－2ay＋2＋2aa＝0.若a＝0，则x0＝－2，与x0≠－2矛盾．若a0，则②式无解．综上，当a0时，在C上有三个点－2＋a，2a－12，－2－a，2a－12，－2，－12，在这三点的法线过点P(－2，a)，其方程分别是x＋2ay＋2－2aa＝0、x－2ay＋2＋2aa＝0、x＝－2；当a≤0时，在C上有一个点－2，－12，在这点的法线过点P(－2，a)，其方程为x＝－2.