高二数学竞赛综合练习(8)

高二数学竞赛综合练习题（8）班级学号姓名1.函数()1232fxxx的最大值是________________;2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”,将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,…,an.若an=2012.则n=_______________.3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,()1nfnn.则f(2012)=______;4．已知双曲线22221yxab的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为．5．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5与a7的等比中项为．6．在△ABC中，若AB=1，AC=3，||||ABACBC，则||BABCBC=．7．已知01a，若log(21)log(32)aaxyyx，且xy，则的最大值为．8．曲线2(1)1()e(0)e2xffxfxx在点(1，f(1))处的切线方程为．9．已知直线y=ax+3与圆22280xyx相交于A，B两点，点00(,)Pxy在直线y=2x上，且PA=PB,则0x的取值范围为．10．设P(x，y)为函数21yx(3)x图象上一动点，记353712xyxymxy，则当m最小时，点P的坐标为．11.已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且1()2nnnaaS．（1）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；（2）设1lg3nnnab，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．12.已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，233)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）若P为线段AB的中点，求k1；（2）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．RABCDPEGFQ13.设实系数三次多项式32()pxxaxbxc有三个非零实数根.求证:3322610(2)1227aababc.14.如图，已知P是矩形ABCD内任意一点，延长BP交AD于E，延长DP交AB于F，延长CP交矩形的外接圆于G。求证：GE⊥GF.综合练习8答案1.224：221520yx．5：42．6：12．2:设12mxxx为吉祥数,则x1+x2+…+xm=5,由x1≥1和x2,…,xm≥0得(x1-1)+x2+…+xm=4,所以,12mxxx为第43mC个吉祥数.21mxx为第42mC个吉祥数.由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共455C个,三位吉祥数共4615C个,因以1为首位的四位吉祥数共4615C个,以2为首位的前两个四位吉祥数为:2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.3.当n=0,1,…,2011时,(n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x有2012个根,设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)…(x-2011).取x=-1,则1=2012!a.故12012!a,(1)(2)(2011)()2012!(1)1xxxxxfxxx,2012!20122013(2012)12012!201320132013f.7：－2．8：1e2yx．9：(1,0)(0,2)．10：(2，3)．11解：(1)由1()2nnnaaS，即2nnnaS，①得11(1)2nnnaS．②②－①，得1(1)nnnana．③于是，21(1)nnnana．④③+④，得212nnnnanana，即212nnnaaa．又a1=0，a2=1，a2－a1=1，所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，an=n－1．(2)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，21333pqpq．所以，213()33qppq(☆)．易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解．当p≥3，且p∈N*时，112(1)224333pppppp0，故数列{23pp}(p≥3)为递减数列，于是2133pp≤3231330，所以此时方程(☆)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列．12解：（1）依题设c=1，且右焦点F(1，0)．所以，2a=EFEF=222323(11)2333，b2=a2－c2=2，故所求的椭圆的标准方程为22132yx．设A(1x，1y)，B(2x，2y)，则2211132xy①，2222132xy②．②－①，得21212121()()()()032xxxxyyyy．所以，k1=212121212()423()63PPyyxxxxxyyy．(2)依题设，k1≠k2．设M(Mx,My)，直线AB的方程为y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得2221122(23)6360kxkkxk．于是，1221323Mkkxk，221223Mkyk．同理，1222323Nkkxk，122223Nkyk．当k1k2≠0时，直线MN的斜率k=MNMNyyxx222211212146()9()kkkkkkkk=21211069kkkk．直线MN的方程为2211222211121063()92323kkkkkyxkkkk，即21211222221211110610632()992323kkkkkkkyxkkkkkk，亦即2121106293kkyxkk．ABCDPEGFQαβ此时直线过定点2(0,)3．当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点2(0,)3．综上，直线MN恒过定点，且坐标为2(0,)3．13证明:设,,为p(x)=0的三个根,由根与系数关系abc得:22222ab.原式32226(2)10(2)27aababc322222226()()10()27①.若2220,则①成立.若2220,不妨设||||||,由①的齐次性,不妨设2229,则23,222296.[来源:Zxxk.Com]①2()10.因22222[2()][2()(2)][4(2)][()]232[84()](92)2()()20()722(2)(27)100100,所以,2()10.故原式成立.14证法1:设CG交AD于Q,由∠GBA＝∠GDA及∠AGB＝∠CGD知△ABG∽△QDG。延长DF、CB交于R，由AD∥BR,AD=BC得AFBCFBBR①又由△CPB∽△QPE及△RPB∽△DPE得BCQEBRED②由①,②得AFQEFBED,表明F,E是△ABG,△QDG的相似对应点,故得△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900,即GE⊥GF.证法2:联结GB,GD,令∠GCB=,∠GCD=,由正弦定理得:sinsinsinsinGBBPPBCGDDPPDCsinsinsinsinBFBFPPBCBFDEDEPPDCDE,由∠GBF＝∠GDE得△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900,即GE⊥GF.