高二数学(人教A版)选修2-1综合能力检测全册ddsss

本册综合能力检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知a∈R，则“a2”是“a22a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．下列四个命题中正确命题的个数为()①∀x∈R,2x2－3x＋40②∀x∈{1，－1,0},2x＋10③∃x∈R，使x2x④∃x∈N*，使x为29的约数A．1B．2C．3D．43．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′等于()A．85B.85C．52D．504．如图所示，在空间直角坐标系中BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则向量OD→的坐标为()A.－32，－12，0B.0，－12，32C.－12，－32，0D.0，12，－325．在[－4,4]上任取一个m，使得曲线x24＋m＋y2m－1＝1表示双曲线的概率是()A.58B.516C.38D.346．曲线y＝－1－x2与曲线y＋|ax|＝0(a∈R)的交点个数是()A．4个B．2个C．0个D．与a的取值有关7．(2013·新课标Ⅱ文，10)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A,B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝33(x－1)或y＝－33(x－1)C．y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)D．y＝22(x－1)或y＝－22(x－1)4．若设直线方程为y＝k(x－1)，则可利用定义，由|AF|＝3|BF|得，x1＝3x2＋2，结合韦达定理求解．8．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝12PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为()A.216B.833C.21060D.21030[答案]D[解析]∵OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.设AB＝a，则A(22a,0,0)，B(0，22a,0)，C(－22a,0,0)．设OP＝h，则P(0,0，h)，∵PA＝2a，∴h＝142a.∴OD→＝(－24a,0，144a)．由条件可以求得平面PBC的法向量n＝(－1,1，77)，∴cos〈OD→，n〉＝OD→·n|OD→||n|＝21030.设OD与平面PBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈OD→，n〉|＝21030.9．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0[答案]D[解析]设Q(x，y)，∵|PM|＝|MQ|∴M为PQ中点，∴P为(－2－x,4－y)．∵P在直线2x－y＋3＝0上，∴y＝2x＋5，∴选D.10．如图，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则AE→·BC→等于()A．0B．1C．2D．3[答案]A[解析]如图，建立空间直角坐标系，设DC＝DB＝a，DA＝b，则B(a,0,0)、C(0，a,0)、A(0,0，b)，E(a2，a2，0)，所以BC→＝(－a，a,0)，AE→＝(a2，a2，－b)，AE→·BC→＝－a22＋a22＋0＝0.11．若直线y＝x＋1与椭圆x22＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，则|AB|等于()A.43B.423C.83D.823[答案]B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝x＋1，x22＋y2＝1，消去y得3x2＋4x＝0.∴x1＋x2＝－43，x1x2＝0，∴|AB|＝2x1＋x22－4x1x2＝2169＝423.故|AB|＝423.12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Γ上存在点P满足|PF1F1F2PF2|＝，则曲线Γ的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32[答案]A[解析]∵|PF1F1F2PF2|＝，设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k，其中|F1F2|＝2c＝3k，∴c＝32k.若圆锥曲线Γ为椭圆，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝6k.∴a＝3k.∴e＝ca＝32k3k＝12.若圆锥曲线Γ为双曲线，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2k，∴a＝k.∴e＝ca＝32kk＝32.∴e的取值为12或32.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．过双曲线x24－y24＝1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|＝________.[答案]8[分析]由双曲线定义及条件知|MF2|－|MF1|＝|NF2|－|NF1|＝2a＝4.[解析]根据双曲线的定义，|MF2|＋|NF2|－|MN|＝(|MF2|－|MF1|)＋(|NF2|－|NF1|)＝2a＋2a＝4a＝4×2＝8.14．与椭圆x29＋y24＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为________．[答案]x2－y2＝52[解析]椭圆焦点(±5，0)，由条件知，双曲线的焦点为(±5，0)，渐近线方程为y＝±x，故设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ0)，∴2λ＝5，∴λ＝52.15．如图所示，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________．[答案]24[解析]解法一：∵四边形ABCD与四边形ABEF都是正方形，∴CB⊥AB，EB⊥AB，∴∠CBE＝60°.连接CE，如图所示，设正方形的边长为1，∵BC＝BE，∠CBE＝60°，∴△CEB为正三角形，CE＝BC＝1.连接CF，∵BC∥AD，∴∠CBF就是两异面直线AD与BF所成的角．又∵AB⊥平面CBE，∴AB⊥CE.又FE∥AB，∴FE⊥CE，∴CF＝CE2＋EF2＝2.又在△CBF中，CB＝1，BF＝2，∴cos∠CBF＝CB2＋BF2－CF22CB·BF＝122＝24.解法二：设AB→＝a，AD→＝b，AF→＝c，设正方形边长为1，则由题意知a·b＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|＝1，∵AD⊥AB，AF⊥AB，∴∠DAF＝60°，∴b·c＝12.|BF→|2＝(c－a)2＝|c|2＋|a|2－2a·c＝2，∴|BF→|＝2，BF→·AD→＝(c－a)·b＝b·c－a·b＝12，∴cos〈BF→，AD→〉＝BF→·AD→|BF→|·|AD→|＝24，即异面直线AD与BF所成角的余弦值为24.16．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为________．[答案]120°[解析]如图，以C为原点建立空间直角坐标系C－xyz，设正方体的棱长为a，则A(a，a,0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a,0，a)，∴BA→＝(0，a,0)，BD1→＝(－a，a，a)，BB1→＝(0,0，a)，设平面ABD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·BA→＝(x，y，z)·(0，a,0)＝ay＝0，n·BD1→＝(x，y，z)·(－a，a，a)＝－ax＋ay＋az＝0，∵a≠0，∴y＝0，x＝z，令z＝1，则n＝(1,0,1)，同理平面B1BD1的法向量m＝(－1，－1,0)，cos〈n，m〉＝n·m|n|·|m|＝－12，而二面角A－BD1－B1为钝角，故为120°.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知p：2x2－9x＋a0，q：x2－4x＋30，x2－6x＋80.且綈q是綈p的必要条件，求实数a的取值范围．[解析]由x2－4x＋30，x2－6x＋80，得1x3，2x4.即2x3.∴q：2x3.设A＝{x|2x2－9x＋a0}，B＝{x|2x3}，∵綈p⇒綈q，∴q⇒p.∴B⊆A.即2x3满足不等式2x2－9x＋a0.设f(x)＝2x2－9x＋a，要使2x3满足不等式2x2－9x＋a0，需f2≤0，f3≤0.即8－18＋a≤0，18－27＋a≤0.∴a≤9.故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．18．(本小题满分12分)已知点A(－1,0)，B(1,0)，分别过A、B作直线l1与l2，使l1⊥l2，求l1与l2交点P的轨迹方程．[解析]设l1：y＝k(x＋1)，(k≠0)(1)则l2：y＝－1k(x－1)(2)(1)与(2)两式相乘，消去k得，y2＝－(x2－1)，∴x2＋y2＝1，特别地，当k不存在或k＝0时，P分别与A、B重合，也满足上述方程，∴所求轨迹方程为x2＋y2＝1.19．(本小题满分12分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB的中点，求EF和平面ACC1A1所成角的大小．[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，∵E、F是AA1、AB的中点，∴E(2,0,1)，F(2,1,0)．∴EF→＝(0,1，－1)．又B(2,2,0)，DB→＝(2,2,0)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥平面ACC1A1，∴DB→为平面ACC1A1的法向量cos〈EF→，DB→〉＝EF→·DB→|EF→|·|DB→|＝12.∴EF→与DB→成的角为π3∴EF与平面ACC1A1所成的角为π6.20．(本小题满分12分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆x24＋y2＝1，交于A、B两点，记ΔAOB的面积为S.(1)求在k＝0,0b1的条件下，S的最大值．(2)当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．[解析](1)设点A的坐标为(x1，b)，B为(x2，b)，由x24＋b2＝1，解得x1,2＝±21－b2，所以S＝12b·|x1－x2|＝2b·1－b2≤b2＋1－b2＝1，当且仅当b＝22时，S取到最大值1.(2)联立y＝kx＋b，x24＋y2＝1，消去y得(k2＋14)x2＋2kbx＋b2－1＝0，Δ＝4k2－b2＋1①|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·4k2－b2＋114＋k2＝2②设O到AB的距离为d，则d＝2S|AB|＝1，又因为d＝|b|1＋k2，所以b2＝k2＋1，代入②式整理得k4－k2＋14＝0，解得k2＝12，b2＝32，代入①式检验，Δ0，故直线AB的方程为y＝22x＋62，或y＝22x－62，或y＝－22x＋62，或y＝－22x－62.21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB中点，PC与平面ABCD的夹角为30°.(1)求平面PCE与平面CDE夹角的大小；(2)当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2.[解析]取AD的中点O，连接PO.∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，又面PAD⊥面ABCD.∴PO⊥面ABCD，以O为原点，OD为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，连接OC，则∠PCO为PC与面ABCD的夹角，∴∠PCO＝30°.设AD＝a，则PO＝32a，OC＝32a，CD＝2a.∴P(0,0，32a)，D(12a,0,0)，C(12a，2a,0)，E(－a2，22a,0)．(1)∵PE→＝(－a2，22a，－32a)，PC→＝(12a，2a，－32a)，设平面PCE的一个法向量为n＝(1，y，z)．则n·PE→＝0⇒－a2＋22ay－32az＝0，n·PC→＝0⇒a2＋2ay－32az＝0.解得，n＝(1，－2，－3)．又平面DEC的一个法向量为OP→＝(0