高二下学期期中数学试卷一

高二下学期期中数学试卷一一、选择题：1．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为两个分母异号，则其表示双曲线，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为则必有mn＜0，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；故选C．2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆【解答】解：若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，∵|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，∴点M在线段F1F2上．故选C．3．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．14B．12C．2D．4【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴1m＝2⇒m＝14，故选A．4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6B．8C．10D．12【解答】解：∵高一年级有30名，在高一年级的学生中抽取了6名，故每个个体被抽到的概率是630=15∵高二年级有40名，∴要抽取40×15=8，故选：B．5．在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为（）A．310B．15C．25D．45【解答】解：∵以线段AP为边的正方形的面积介于25cm2与49cm2之间∴线段AP的长介于5cm与7cm之间满足条件的P点对应的线段长2cm而线段AB总长为10cm故正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率P=210＝15故选B6．如图，一环形花坛分成A、B、C、D四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域里种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，则不同的种法种数为（）A．96B．84C．260D．320【解答】解：根据题意，四个区域至少选用两种不同的花来种，∴事件可分三类，第一类，种2种不同的花，共有C25×A22=20种种法种数；第二类，种三种不同的花，有2×A35=120种种法种数；第三类，种四种不同的花，有A45=120种种法种数；∴共有20+120+120=260种种法种数；故选C．7．编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率（）A．23B．13C．16D．56【解答】解：所有的排列方法共有A33=6种，而满足条件的排列有（2，3，1）、（3，1，2），共计2种，由此求得三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率为26=13，故选：B．8．若如图的程序框图输出的S是126，则①应为（）A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤8【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+26=126，故①中应填n≤6．故选B9．给出两个命题：p：平面内直线l与抛物线y2=2x有且只有一个交点，则直线l与该抛物线相切；命题q：过双曲线x2−y24＝1右焦点F的最短弦长是8．则（）A．q为真命题B．“p或q”为假命题C．“p且q”为真命题D．“p或q”为真命题．【解答】解：∵当直线平行于对称轴时，直线与抛物线有一个公共点，但直线与抛物线不相切，∴命题p为假命题；∵过双曲线x2−y24＝1右焦点F，过F的直线如果与双曲线左右两支分别相交时，长度最短的弦长为2，∴命题q为假命题；由复合命题真值表判断：A错误；p或q为假命题，∴B正确；D错误；p且q为假命题，∴C错误；故选B．10．设F1、F2是椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x=3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．12B．23C．34D．453a2上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=3a2上一点∴2(32a−c)＝2c∴e＝ca＝34故选C．11．如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆；故选：B．12．设F为双曲线x216−y29＝1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M，N，则|FN|−|FM||FA|的值为（）A．25B．52C．54D．45【解答】解：由于F为双曲线x216−y29＝1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M，N，不妨设A为椭圆的右焦点，则F（-5，0），A（5，0），|FN|-|NA|=8，由双曲线的对称性得到|FM|=|NA|，∴|FN|-|FM|=8则|FN|−|FM||FA|=810＝45．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．13．用0、1、2、3、4这5个数字可组成没有重复数字的三位偶数30个．【解答】解：分两类，第一类，个位为0，有=12个；第二类，个位是2或4，有18∴可组成没有重复数字的三位偶数有12+18=30个，故答案是30．14．将二进制数101101（2）化为八进制数，结果为55．【解答】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．故答案为55．15．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是2/3．【解答】解：分别取AB、CD的中点E、F连EF，过M作MN⊥EF于N，则MN的长为点M到截面ABCD的距离．现在△CAM中计算tan∠CAM=22，∴sin∠CAM=2/3，再在△MFN中计算MN=MFsin∠CAM=2/3．故答案为2/316．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为26米．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，-2）代入x2=my，得m=-2∴x2=-2y，代入B（x0，-3）得x0=6，故水面宽为26m．故答案为：26．三、解答题：17．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f（x）=（3-2a）x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．解：【解答】解：∵p∨q为真，p∧q为假，∴p为真，q为假，或p为假，q为真．①当p为真，q为假时，△＝4a2−16＜0，0＜3−2a＜1，解得1＜a＜1.5．②当p为假，q为真时，△＝4a2−16≥0，3−2a＞1，解得a≤-2综上，实数a的取值范围是{a|a≤-2或1＜a＜1.5}．18．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解：【解答】解：如图所示，依题意，设抛物线方程为y2=2px，则直线方程为y=-x+0.5p．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+0.5P+x2+0.5P，（4分）即x1+0.5P+x2+O.5P=8．①又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，由y＝−x+0.5P，y2＝2pX消去y，得x2-3px+p2/4=0，∵△=9p2-4×p2/P=8p2＞0．∴x1+x2=3p．将其代入①得p=2，∴所求抛物线方程为y2=4x．当抛物线方程设为y2=-2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2=-4x．故所求抛物线方程为y2=4x或y2=-4x．（8分）19．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．解：【解答】解：（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，∴取出的球的编号之和不大于4的概率P=1/3（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，所有（m，n）有4×4=16种，而n≥m+2有1和3，1和4，2和4三种结果，∴P=1-3/16=13/16．20．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（Ⅲ）从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．解：【解答】解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率为1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3频率分布直方图如图：（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%，利用组中值估算抽样学生的平均分45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.3+95×0.05=71；估计这次考试的平均分是71分；（Ⅲ）[70，80），[80，90），[90，100]”的人数是18，15，3．所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率．P＝87/210．21．如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD＝AD＝2AB，E是SA的中点．（1）求证：平面BED⊥平面SAB；（2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小．解：【解答】（1）证明：∵SD⊥底面ABCD，SD⊂平面SAD，∴平面SAD⊥平面ABCD…（2分）∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCDAD，∴AB⊥平面SAD，又DE⊂平面SAD，∴DE⊥AB，…（4分）∵SD=AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，∵AB∩SA=A，DE⊥AB，DE⊥SA，∴DE⊥平面SAB，∵DE⊂平面BED，∴平面BED⊥平面SAB．…（6分）（2）解：由题意知SD，AD，DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，不妨设AD=2．则D（0，0，0），A（2，0，0），B(22，0)，C(02，0)，S（0，0，2），E（1，0，1），∴DB＝(2,2,0)，DE＝(1,0,1)，CB＝(2,0,0)，CS＝(0,−2,2)…（8分）设m＝(x1，y1，z1)是平面BED的法向量，则m•DB=0，m•DE=0，即2x1+2y1＝0x1+z1＝0，令x1=-1，则y1＝2，z1＝1，∴m＝(−1，2，1)是平面BED的一个法向量．设n＝(x2，