【金版优课】高中数学人教B版选修2-1练习课件第三章空间向量与立体几何复习总结

第三章空间向量与立体几何章末复习总结一、空间向量及其运算1．空间向量的概念(1)在空间，具有方向和大小的量叫做向量．零向量是方向任意、大小为零的向量．两个向量相等的充要条件是它们的方向相同且大小相等．(2)空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段表示．向量的有向线段表示，使向量与几何图形产生了必然的联系，为运用向量解决几何问题奠定了基础．2．空间向量的运算(1)空间向量可以进行加、减、数乘和数量积等运算，各种运算的性质与平面向量的运算性质基本相同．在向量的数量积运算中，不满足结合律．(2)空间向量可以进行代数运算、几何运算．代数运算与实数运算基本相同；几何运算赋予向量运算以明确的几何意义和物理意义．3．空间向量中的一些重要结论(1)空间向量共线、垂直的充要条件：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)；a⊥b⇔a·b＝0.(2)空间向量共面的充要条件：p、a、b共面⇔p＝xa＋yb(a，b不共线，x，y∈R)．(3)空间向量基本定理：给定空间一个基底{a，b，c}，对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc.(4)空间向量的数量积及夹角公式：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.二、空间向量的坐标表示1．空间坐标系这里的空间坐标系指的是右手直角坐标系，即生成坐标系的一组单位正交基底{a，b，c}按右手系排列，各坐标轴的正方向与a、b、c同向．2．向量的直角坐标运算设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)；a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；λa＝(λx1，λy1，λz1)；AB→＝OB→－OA→＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；a⊥b⇒a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；a∥b⇒a＝λb⇔x1x2＝y1y2＝z1z2(x2，y2，z2≠0)．3．有关公式(1)模：|a|＝a·a＝x21＋y21＋z21；(2)夹角：cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22；(3)两点间距离：|AB|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.三、运用向量方法研究平行与垂直1.线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．2．线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，即a⊥b⇔a·b＝0.3．线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；(3)利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．4．线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：(1)证明直线方向向量与平面的法向量平行；(2)利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．5．面面平行(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；(2)转化为线面平行、线线平行问题．6．面面垂直(1)证明两个平面的法向量互相垂直；(2)转化为线面垂直、线线垂直问题．四、用向量方法求空间角和距离1．求两异面直线所成角利用公式cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是(0，π2]，故实质上应有：cosθ＝|cos〈a，b〉|.2．求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝|cosφ|.3．求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．4．点到平面的距离的求法点P到它在一个平面α内射影的距离，叫做点P到这个平面α的距离．若A为平面α内任一点，n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝|PA→·n|n.空间向量及其运算本部分内容包括空间向量及其线性运算，共线向量与共面向量，空间向量的分解定理，两个向量的数量积，这是学习立体几何的基础，也是立体几何的重点内容，通过本部分的学习我们就可很方便地使用向量工具，证明线与线、线与面、面与面的位置关系的判定，求空间角和空间距离，把几何推导转化为向量代数运算．1．向量的线性运算选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求．例1如图，平行六面体A1B1C1D1－ABCD，M分AC→成的比为12，N分A1D→成的比为2，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，试用a、b、c表示MN→.[思路分析]要用a、b、c表示MN→，只需结合图形，充分运用空间向量加法和数乘向量的运算律即可．[完美作答]如上图，连接AN，则MN→＝MA→＋AN→，由已知ABCD是平行四边形，故AC→＝AB→＋AD→＝a＋b，又MA→＝－13AC→＝－13(a＋b)．由已知，N分A1D→成的比为2，故AN→＝AD→＋DN→＝AD→－ND→＝AD→－13A1D→＝13(c＋2b)，于是MN→＝MA→＋AN→＝－13(a＋b)＋13(c＋2b)＝13(－a＋b＋c)．用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.2．空间向量的数量积正确运用数量积公式及性质求角及距离．(1)向量a、b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)向量的数量积的性质：①a·e＝|a|·|e|cos〈a，e〉；②a⊥b⇔a·b＝0；③|a|2＝a·a.例2如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好落在AB上，求这时二面角B—AC—D的余弦值.[思路分析]过点D、B分别作DG⊥AC，BH⊥AC，利用cos〈GD→，BH→〉＝GD→·BH→|GD→||BH→|求解．[完美作答]如图所示，作DG⊥AC于G，BH⊥AC于H.在Rt△ADC中，AC＝AD2＋DC2＝5，cos∠DAC＝ADAC＝35.在Rt△AGD中，AG＝AD·cos∠DAC＝3×35＝95，DG＝AD2－AG2＝9－8125＝125.同理，cos∠BCA＝35，CH＝95，BH＝125.AD→·BC→＝(AE→＋ED→)·BC→＝AE→·BC→＋ED→·BC→＝0，GD→·HB→＝(GA→＋AD→)·(HC→＋CB→)＝GA→·HC→＋GA→·CB→＋AD→·HC→＋AD→·CB→＝－95×95＋95×3×35＋3×95×35＋0＝8125.又|GD→|·|HB→|＝14425，∴cos〈GD→，HB→〉＝916.因此所求二面角的余弦值为916.求二面角的大小，可以作出垂直于棱的两个向量，转化为这两向量的夹角，但应注意两向量的始点应在二面角的棱上.3．共线向量、共面向量运用共线向量定理和共面向量可以解决立体几何中的平行问题和共面问题．例3如图，已知▱ABCD，从平面AC外一点O引向量OE→＝kOA→，OF→＝kOB→，OG→＝kOC→，OH→＝kOD→，求证：(1)四点E、F、G、H共面；(2)平面AC∥平面EG.[思路分析](1)利用空间向量共面定理证明，由EG→＝EF→＋EH→可得四点共面．(2)利用向量共线定理，由EF→＝kAB→，EG→＝kAC→及面面平行的判定定理即可证明．[完美作答](1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC→＝AB→＋AD→，EG→＝OG→－OE→＝kOC→－kOA→＝kAC→＝k(AB→＋AD→)＝k(OB→－OA→＋OD→－OA→)＝OF→－OE→＋OH→－OE→＝EF→＋EH→.所以E，F，G，H共面．(2)EF→＝OF→－OE→＝k(OB→－OA→)＝kAB→，且由第(1)小题的证明EG→＝kAC→，于是EF∥AB，EG∥AC.所以平面EG∥平面AC.本题考查利用空间向量基本定理，证四点共面及共线向量定理证线线平行.空间向量基本定理的应用之一是证明四点共面；用共线向量定理证明线线平行从而证明面面平行，更简洁.使问题简单化.立体几何中的向量方法空间向量要解决的问题主要是用空间向量的方法解决立体几何中的基本问题，根据问题的特点，以适当的方式(如构建向量，建立空间直角坐标系)利用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系，然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系(平行、垂直、角和距离)，最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何问题．1．利用向量证明平行问题若直线a⊄平面α，其方向向量为a，平面α的法向量是n，且a⊥n，则a∥α.若u，v分别是平面α、β的法向量，且u∥v，则α∥β.例4已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：AD1∥平面BDC1.[思路分析]由于是正方体，故可建立空间直角坐标系求解．[完美作答]以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则有D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，AD1→＝(－1,0,1)，设n＝(x，y，z)为平面BDC1的法向量，则n⊥DB→，n⊥DC1→.所以x，y，z·1，1，0＝0，x，y，z·0，1，1＝0.即x＋y＝0，y＋z＝0.令x＝1，则n＝(1，－1,1)．n·AD1→＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，知n⊥AD1→.又AD1⊄平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1.2．利用向量证明垂直问题用向量法证线面垂直，一是通过数量积证直线的方向向量与平面内的两个不共线向量垂直，二是证平面的法向量与直线的方向向量平行；证面面垂直可证两个平面的法向量垂直．例5如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．用向量法证明：MN⊥平面A1BD.[思路分析]结合向量垂直的概念和线面垂直的判定定理进行证明．[完美作答]MN→＝MB→＋BC→＋CN→＝12AB→＋AD→＋12(CB→＋CC1→)＝12AB→＋AD→＋12(－AD→＋AA1→)＝12AB→＋12AD→＋12AA1→.设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则MN→＝12(a＋b＋c)．又BD→＝AD→－AB→＝b－a，∴MN→·BD→＝12(a＋b＋c)(b－a)＝12(b2－a2＋c·b－c·a)．又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，∴c·b＝0，c·a＝0.又|b|＝|a|，∴b2＝a2，∴b2－a2＝0.∴MN→·BD→＝0，∴MN⊥BD.同理可证，MN⊥A1B，又A1B∩BD＝B，∴MN⊥平面A1BD.向量法证明线面垂直，即证直线的方向向量与平面内的两个不共线向量垂直.例6[2014·安徽师大附中模拟]如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.[思路分析]以A为原点建立空间直角坐标系，然后利用向量的平行和垂直来证得线面的平行和面面的垂直．[完美作答]证明：设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)．∵F为CD的中点，∴F(32a，32a,0)．(1)AF→＝(32a，32a,0)，BE→＝(a，3a，a)，BC→＝(2a,0，－a)，∵AF→＝12(BE→＋BC→)，AF⊄平面BC