人教版七年级数学下第九章-一元一次不等式归类总结

最权威的信息最丰富的资源最快捷的更新最优质的服务最真诚的交流第九章一元一次不等式【基础知识梳理】一、一元一次不等式1．不等式的基本性质：(1)不等式的性质1：不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，用式子表示：如果ab，那么a±cb±c．(2)不等式的性质2：不等式的两边乘以(或除以)同一正数，不等号的方向不变，用式子表示：如果ab，c0，那么acbc或acbc．(3)不等式的性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向①，用式子表示：ab，c0，那么，ac②bc或ac③bc．2．解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并④，把系数化为1．3．不等式解集及其数轴表示法⑴不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．如：注意:表示4的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．温馨提示：不等式的性质是解不等式的重要依据.在解不等式时，值得注意的是在不等式的两边除以一个负数时，不等号的方向一定要改变.二、一元一次不等式组一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．⑴温馨提示：求几个一元一次不等式组的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定．公共部分是指数轴上被两条不等式解集的区域都覆盖住的部分．⑵求解不等式组的关键是求一元一次不等式的解集．由于一元一次不等式都可转化为x＞a或x＜a的最简形式，因此只要分为两种情形讨论其解集即可(不妨设ab)：①当不等号的方向一致时(称同向不等式)，即：最权威的信息最丰富的资源最快捷的更新最优质的服务最真诚的交流对这类不等式组可按“同大取大；同小取小”的法则，即取公共部分为它的解(如图1)．图1图2所以在图1中，不等式组的解集为xa,在图2中，不等式组的解集为⑤.②当不等号的方向相反时(称异向不等式)，即：则若未知数的取值比大数小，比小数大时，不等式组的解集在两数之间，取公共部分(如图3)；图3所以在图3中，不等式组的解集为⑥.若未知数的取值比大数还大，比小数还小，不等式组的解集是空集，即没有公共部分(如图4)．图4所以在图3中，不等式组的解集为空集,即无解.上述不等式组的解集用一句顺口溜表示为”同大取大,同小取小,小大大小中间找,大大小小解不了(答：无解).三、不等式(组)的应用1．列不等式解应用题的基本步骤：①审题；②设未知数；③列不等式；④解不等式；⑤检验并写出答案．2．列不等式组解决实际问题与列一次方程组解决实际问题的步骤大致相同，不同的是前者寻找不等量关系，后者建立的是等量关系，并且解不等式组所得的结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案．最权威的信息最丰富的资源最快捷的更新最优质的服务最真诚的交流【考点例析】一、不等式的基本性质例1、若ab0，则下列式子：①a+1b+1；②ab1；③a+bab；④1a1b中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个分析与解：本题就是不等式性质的应用.对于①是在不等式两边都加上1,根据不等式性质1,该不等式成立;对于②是在不等式两边同时除以b,因为b是负数,根据不等式的基本性质，同乘同除一个负数时，不等号的方向要改变,所以②也正确;对于③,因为ab0,所以a+b0,ab0,所以③正确;对于④是在不等式的两边同乘以1ab0，可得1a1b,故④不正确，故选C.点拨：不等式的基本性质是不等式的核心，特别要注意不等式的性质3的利用，不等号的方向要改变.二、不等式解的表示方法例2.解集在数轴上表示为如图5所示的不等式组是（）A．32xx≥B．32xx≤C．32xx≥D．32xx≤分析与解：不等式（组）的解集在数轴上表示的形状是一条射线，小于向左画，大于向右画，无等号的画空心圆圈，有等号的画实心圆点，因此判断不等式的解集为.32xx≤，故选D.点拨：利用数轴表示不等式（组）的解，关键要熟知不等号的表示方法.尤其是空心和实心的区别.三、不等式（组）解法步骤例3.解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：3(1)7251.3xxxx≤，①②23图50最权威的信息最丰富的资源最快捷的更新最优质的服务最真诚的交流分析与解：解不等式①，得2x≥；解不等式②，得12x．在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图：或者根据“同大取大；同小取小；小大大小中间找，大大小小解不了”的原则，可以得到：原不等式组的解集是122x≤．点拨：会解不等式（组）是一个基本要求，关键是利用好不等式的基本性质，同时要注意解的范围的确定方法.四、不等式(或组)的整数解问题例4.解不等式组4315221xxxx并求其整数解的和.分析：欲求整数解的和，就要求出它的整数解，而要求出整数解，就要先求出不等式组的解集,然后根据解集求出符合条件的整数解.解：解①，得23x；解②，得x≤4，故不等式组的解是x23≤,4故它的整数解是－1，0，1，2，3，4，从而整数解的和是－1＋0＋1＋2＋3＋4=9.点拨：解这类问题的一般步骤为：①求出一元一次不等式（组）的解集；②找出适合解集范围内的特殊解，如整数解、自然数解等.就本题而言，求出整数解后不要忘了求整数解的和.五、不等式式(或组)中待定字母范围的确定例5.（1）若不等式组2123xaxb的解集为—1x1，则（a+1）（b—1）的值是__________；（2）若不等式3x-a≤0的正整数解为1、2、3，则a的取值范围是__________．分析：（1）先求出不等式组的解集，再与已知解集对照比较，确定a、b的值；（2）先求出不等式的解集，再利用数轴确定a的取值范围．解：（1）解原不等式组中的各个不等式得：1232axxb依题意知，解集为3+2bxa+12，2101最权威的信息最丰富的资源最快捷的更新最优质的服务最真诚的交流又∵不等式组的解集为-1x1.∴112321ab（1）（２）　　　　　　　由（1）得：a+1=2，由（2）得：b=—2，则b—1=—3，∴（a+1）（b—1）=2×(-3)=-6；（2）不等式的解集为x≤a3，如右图所示，解集为x≤3到x4范围内时，满足原不等式的正整数解恰好为1，2，3．故有：3≤a34，解得9≤a12．所以a的取值范围是9≤a12．点拨：确定不等式组中的字母的取值范围，主要有三种方法：（1）运用不等式的解集确定；（2）从反面求解确定；（3）借助数轴来确定。但要注意题中的隐含条件，善于逆向思维，并注意数形结合思想的应用。例6.已知不等式组132423xxaxx的解为21x，求a的值解：解不等式组1324)2(3xxaxx得，31ax，由题意得知：23a，解得a=－1，答a的值为－1。点拨：上述问题属于根据不等式组解的情况，确定不等式中的某个参数的范围这一类问题，这类问题如果没有数轴的引入，确定参数的范围是比较困难的。因此，借助于数轴，使数与形有机的结合起来，是解决此类问题的关键。六、构建不等式,解决实际问题。(一)分配不足问题一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具不足3件，求小朋友的人数与玩具数.分析：本题属于分不足问题。这样的问题要注意最后分配的语句.如本题中“最后一人得到的玩具不足3件”。这里很多同学认为这不足3件，至少应该是1件.实际上最后一个小朋友得到的玩具数最少是0个这样理解才是正确的！对于这类分配不足问题,通常是从最后一名学生的分配情况来列不等式组.解：设有x个小朋友，则玩具的个数是（3x+4），根据题意，得0≤3x+4-4（x-1）＜3解得、5＜x≤8所以，小朋友的人数是x=6、7、8相应的玩具数是、3x+4=22、25、28(二)构建不等式(组)模型——解“统筹安排”问题．例7.某企业有员工300人，生产A种产品，平均每人每年可创造利润m万元(m为大于零的常数).为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的B种产品，根据评估，调配后继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%.生产B种产品的员工平均每人每年创造利润1.54m万元，若要求调配后，企业生产A种产品的年利润不小于调配前企业年利润的54，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有几种调配方案？请设计出来，并指出其中哪一种方案全年总利润最大(必要时运算过程可保留三个有效数字).点拨：调配前企业的年利润为300m万元.调配后生产A种产品所得利润为(300－x)(1+20%)m万元.生产B种产品所得利润为1.54万元.解：由题意得mmxmx3002154.130054%)201)(300(解这个不等式组得977731＜x≤100∵x为正整数，∴x只能取98、99、100.∴共有三种调配方案.①种:202人生产A种产品，98人生产B种产品；最权威的信息最丰富的资源最快捷的更新最优质的服务最真诚的交流②种:201人生产A种产品，99人生产B种产品；③种:200人生产A种产品，100人生产B种产品.而调配后企业全年利润可表示为(300－x)(1+20%)m+1.54mx=0.34mx+360.将x=98，99，100分别代入得x=100时，获利最大.(三)构建方程与不等式(组)的混合模型——解“合理调配”问题．例8.商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65％，然后将售价下降10％这样每件仍可以获利18元，又售出了全部商品的25％.(1)试求该商品的进价和第一次的售价；(2)为了确保这批商品总的利润不低于25％，剩余商品的售价应不低于多少元?解(1)设该商品的进价为x元，第一次的售价为y元.由题意，得30(110%)18yxyx解得12090yx.答:该商品的进价为90元，第一次的售价为120元.(2)设剩余商品的售价为z元，由题意，得30×65％m+18×25％m+(z-90)(1-65％-25％)m≥90m×25％.解这个不等式，得z≥75.答：剩余商品的售价应不低于75元.(四)构造模型——利用不等式解“规划决策”问题．例9.某园林的门票每张10元，一次使用．考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从购买日起，可供持票者使用一年)．年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再用门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；c类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．(1)如果你只选择·种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式．(2)求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算．析解：本考题仍为“合算”问题，只是形式略有不同，涉及到列不等式组解实际应用问题．(1)因为80120，所以不可能选A类年票．若选B类年票，则80-602=10(次)；类年票，则80-403≈13(次)；若不购买年票，则8010=8次所以计划用80元花在该园林的门票上时，选择购买C类年票的方法进入园