职高高一数学—指数函数(1)

指数与指数幂的运算•【课标要求】1．理解根式的概念及分数指数幂的含义．2．会进行根式与分数指数幂的互化．3．掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．•【核心扫描】1．根式的运算性质和有理指数幂的运算性质(重点)2．根式的概念及有理指数幂的含义．(难点)3．根式与分数指数幂的互化．(易错点)新知导学1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数naa∈Rn为偶数±na[0，＋∞)(3)根式式子叫做根式，这里n叫做，a叫做被开方数．根指数xn＝ana2．根式的性质(1)n0＝(n∈N*，且n1)；(2)(na)n＝(n∈N*，且n1)；(3)nan＝a(n为大于1的奇数)；(4)nan＝|a|＝a≥0a0(n为大于1的偶数)．a－a0a•3．分数指数幂的意义正分数指数幂规定：a＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)负分数指数幂规定：a－mn＝1amn＝(a0，m，n∈N*，且n1)分数指数幂性质0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.1nam0无意义4．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝(a0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝(a0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a0，b0，r∈Q)．ar＋sarbr互动探究探究点1nan与(na)n有什么区别？提示(1)当n为奇数时，nan＝(na)n＝a.(2)当n为偶数时，nan＝|a|，且a∈R；(na)n＝a(a≥0)．探究点2a可不可以理解为mn个a相乘？它的实质是什么？提示a不可理解为mn个a相乘，如a显然不是半个a的乘积，它的实质是根式的另一种写法，如a＝a.探究点3a＝a成立吗？提示不一定．当a≥0时，a＝a成立；当a0时，a有意义，而a无意义，a＝a不成立，故分数指数幂不能随便约分．nm类型一根式的运算【例1】求下列各式的值：(1)3－23；(2)4－32；(3)83－π8；(4)x2－2x＋1－x2＋6x＋9，x∈(－3,3)[思路探索]根据根式的性质求解，注意偶次根式与奇次根式的不同，注意被开方数的符号．解(1)3－23＝－2；(2)4－32＝432＝3；(3)＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|当－3x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当1x3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝－2x－2，－3x≤1，－4，1x3.[规律方法]•1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．•2.开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．【活学活用1】化简下列各式：(1)3－27；(2)π－42；(3)3－22＋31－23；(4)(a－1)2＋1－a2＋31－a3.解(1)3－27＝＝－3；(2)π－42＝|π－4|＝4－π；(3)3－22＋31－23＝2－12＋1－2＝2－1＋1－2＝0；(4)由根式的意义，知a≥1.∴原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1.类型二根式与分数指数幂的互化【例2】将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)3ab2；(2)4－a2(a0)；(3)a2bb3a·ab3(a0，b0)．[思路探索]应用a＝nam实现根式与分数指数幂的互化．[规律方法]1.分数指数幂与根式可以相互转化，其化简的依据是公式：a＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)．2．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．3．化简过程中要明确字母的范围，以免出错．【活学活用2】将下列根式化成分数指数幂的形式：类型三分数指数幂的运算【例3】计算(化简)下列各式：[思路探索]先化简每一个分数指数幂，然后用指数幂的运算性质运算．[规律方法]1.对于既含有分数指数幂，又含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于计算，如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形式．2．对于计算的结果，不强求统一用什么形式表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也既不能含有分母又含有负指数．【活学活用3】计算下列各式：方法技巧整体代换在条件求值中的应用整体代换思想是指不去破坏条件的结构，将其整体代入进行运算．本节中的整体代换主要应用于条件求值，对于条件求值问题，一定要弄清已知条件与所求的关系，然后采取整体代换的方法求值．【示例】已知,求下列各式的值：[思路分析]从整体上寻求所求式与已知条件的关系，然后整体代入求值．解:(1)将a＋a＝的两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.(2)由a＋a－1＝3，两边平方得a2＋a－2＋2＝9.∴a2＋a－2＝7.(3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝3×(7－1)＝18.5[题后反思]1.对此类求值问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后用“整体代换”的方法求值．2.求解时要注意：(1)各式中的隐含条件；(2)必要时，应先将条件与待求式子进行化简，有利于求值．课堂达标1．已知x5＝6，则x等于()．A.6B.56C．－56D．±56解析∵5是奇数，∴x＝56.答案B2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是()．答案C3．当8x10时，x－82＋x－102＝________.解析原式＝x－8＋10－x＝2.答案24．2－12＋－402＋12－1－1－50·8＝________.解析原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.答案22－35．(1)求279＋3338－30.064的值；解(1)原式＝259＋3278－30.43＝532＋3323－30.43＝53＋32－0.4＝8330.课堂小结1．掌握两个公式：(1)(na)n＝a；(2)n为奇数，nan＝a，n为偶数，nan＝|a|＝aa≥0－aa0.2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．新知探究题型探究感悟提升数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合千般好，数形分离万事休。——华罗庚新知探究题型探究感悟提升