研究生数理方程期末试题-10-11-1-A-答案

数理方程期与特殊函数期末考试题第1页（共9页）北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期《数学物理方程》期末试题（A卷）（参考答案）学院专业学号姓名题号一二三四五六七总分分值10151520151510100得分阅卷人1、（10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为：222211xuxuExhxht其中E是圆锥体的杨氏模量，是质量密度，h是圆锥的高（如下图所示）：【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为uESx，S为x处截面面积。】【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是1r和2r，如图所示。于是，我们有2222211212(,)(,)(,)()()()d()tan((d))tanuxdxtuxtuxtErErrxxxtrhxrhxx上式化简后可写成数理方程期与特殊函数期末考试题第2页（共9页）2222d2(,)(,)(,)[()|()|]()dxxxxxuxtuxtuxtEhxhxhxxxxt从而有2222(,)(,)[()]()uxtuxtEhxhxxxt或成22222(,)(,)[(1)](1)xuxtxuxtaxhxht其中2Ea，证明完毕。2、（20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边yb处于较高温度U，其它三边0y，0x和xa则处于冷却介质中，因而保持较低的温度0u。试求该截面上的稳定温度分布(,)uxy，即求解以下定解问题：2222000000,0,0;|,|,0;|,|,0.xxayybuuxaybxyuuuuybuuuUxa【提示：可以令0(,)(,)uxyuvxy，然后再用分离变量方法求解。】【解】令0(,)(,)uxyuvxy，则原定解问题变为22220000,0,0;|0,|0,0;|0,|,0.xxayybvvxaybxyvvybvvUuxa分离变量：(,)()()vxyXxYy数理方程期与特殊函数期末考试题第3页（共9页）代入方程得到关于X和Y的常微分方程以及关于X的定解条件：0,(0)0,()0;XXXXa0YY可以判定，特征值222(1,,2,3,)nnna特征函数'()()sin(1,,2,3,)nnnXxXxCxna利用特征值n可以求得''()()(1,,2,3,)nnaayynnnYyYyAeBen于是求得特征解(,)()sin(1,,2,3,)nnaayynnnnvxyAeBexna形式解为11(,)(,)()sinnnaayynnnnnnvxyvxyAeBexa由边界条件，有得到00(2)4()(21)bnbnaannnnABnkAeBeUunkn解得00(2)4()(21)()bnbnaannnkUuABnknee最后得到原定解问题的解是101(,0)()sin0(,)()sinbnbnaannnnnnnvxABxanvxbAeBexUua数理方程期与特殊函数期末考试题第4页（共9页）001(21)sh4()1(21)(,)sin(21)21shkkyUukauxyuxkbkaa3、（20分）试用行波法求解下列二维半无界问题2(,),0,;(,0)(),0;(0,)(),0.uftxtxtxuxxxuttt【解】方程两端对x求积分，得100d(,)d()xxyuxfxyxhyx也即0(,)d()xufxyxhyy对y求积分，得000d(,)dd()()yyxuyfxyxygxhyy也即00(,)(,)dd()()yxuxyfxyxygxhy由初始条件得(,0)()(0)()uxgxhx(0,)(0)()()uyghyy也即()()(0)gxxh()()(0)hyyg再取0x，于是又有(0)(0)(0)gh(0)(0)(0)hg从而得(0)(0)(0)(0)gh于是()()(0)()(0)(0)gxxhxg()()(0)()(0)(0)hyygyh数理方程期与特殊函数期末考试题第5页（共9页）将这里的()gx和()hy代入(,)uxy的表达式中，即得000000(,)(,)dd()()(,)dd()(0)(0)()(0)(0)(,)dd()()(0)yxyxyxuxyfxyxygxhyfxyxyxgyhfxyxyxy4、（20分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题：2222200,0()()ttuuaxttxuxuxt，【提示：可利用逆Fourier积分变换公式：11,||sin[]20,||xatatFaaxat】【解】对变元x作Fourier变换，令(,)(,)[]()()[]()()[]ixixixUtuxyedxFuxedxFxedxF则有222200,(),()ttUUaUUtt方程的通解是12(,)()cos()sinUtCatCat由初始条件得12()(),()()CaC可得121()(),()()CCa方程的解1(,)()cos()sinUtatata数理方程期与特殊函数期末考试题第6页（共9页）从而11111(,)[(,)]1[()cos][()sin]sin[()cos][()]uxtFUtFatFataatFatFa查表可得111,||,sin[]()220,0,xatatxatatFfxaaaothersothers从而111sinsin1[()][()][]()()()2xatxatatatFFFfxddaaa注意到11sin1[()cos][()][()]21[()()]2xatxatdatdFatFddtadtaxatxat最后得到原问题的解11sin(,)[()cos][()]11[()()]()22xatxatatuxtFatFaxatxatda即11(,)()()()22xatxatuxtxatxatda这就是d’Alembert公式。5、（20分）对于平面上的调和函数(,)uxy1）试证明Dirichlet边值问题解的唯一性，即：方程.0,0uu只有零解；2）用Green函数法，试求解边值界为(,)gxy的上半平面调和函数的Poisson表达式。6、（20分）半径为0r的球形区域内部没有电荷，球面上的电位为20cosu，0u为常数，求球形区域内部的电位分布。即求解以下定解问题（球坐标形式）：数理方程期与特殊函数期末考试题第7页（共9页）020222011()(sin)0,0sincosrruurrrrrrruu【解答】由于球面上边界条件中不含有变量，故只考虑轴对称解，可以用分离变量法求解该问题。为此令(,)()()urRr代入方程，得22222(2)()0dRdRddrrRctgdrdrdd改写成222222dRdRdddrddrdrrctgR令(1),cos,nnxP，可将上面两个方程改写成222222(2)0(1)2(1)0dRdRrrRdrdrdPdPxxnnPdxdx上面第二个方程是一个勒让德方程，其通解为()nPx。而第一个方程是一个欧拉方程，它的通解是)1(21)(nnxnrCrCrR再根据R的有界性，应有20C，从而nxnnrCrR)(于是，原问题的解是0)(),(nnnnxPrCxru边界条件为020cosrruu或写成020rruux即有2000()nnnnuxCrPx数理方程期与特殊函数期末考试题第8页（共9页）根据已有的结果2201()(31),()12PxxPx或2201(cos)(3cos1),(cos)12PP从而22021()()33xPxPx于是有0200021(()())()33nnnnuPxPxCrPx比较两端()nPx的系数，可知0002202,,0(0,2)33nuuCCCnr从而20002202002022002(,)(cos)(cos)3321(3cos1)3321[1()(3cos1)]3uuurPrPruurrur7、（10分）用Ritz-Galerkin方法求下列问题的近似解：220220,(,)0.uuuxyxyu其中区域222{(,)|}xyxyR，0u为常数。【提示：取近似解为2221()uARxy】【解】取基函数组2220Rxy，求(,)uxy的近似解，只取1N，则22210()uAARxy。泛函数理方程期与特殊函数期末考试题第9页（共9页）21112222202222220022222000023201()(2)dd21(2)(2)2()dd214()22()dd21d(422)d2(42RJuufuxyAxAyuARxyxyAxyuARAuxyxyAruARAurrrAruARr3002402)d()2RuArruAAR令1d()0dJuA有40(2)02uAR可得04uA最后得到定解问题的近似解为22201(,)()4uuxtuRxy