相似三角形综合大题(30)5解析

相似三角形综合大题（30）5(扫描二维码可查看试题解析)一．解答题（共30小题）1．（2013•香坊区二模）在△ABC中，H为BC边上一点，连接AH，且∠BAH=∠BCA，∠ABC的角分线分别交AH、AC于D、E两点，过点D作DF∥BC交于点F．（1）如图1，求证：AD=FC；（2）如图2，若BD=BH，且AE=2EF，作BM⊥DH，垂足为M，BM的延长线交AC于点G，请探究线段DF与CG之间的数量关系，并证明你的结论．2．（2013•吉安模拟）如图，正方形ABCD中，AB=4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接PB，作∠BPE=45°．（1）求证：当PC=AB时，PA=EC；（2）当点P是AC上任意点时，设PA=x，BE=y，求y与x的函数关系式；（3）是否存在D，P，E三点在同一直线的情况？如果存在，求此时BP+PE的值；如果不存在，说明理由．3．（2013•梅列区模拟）已知：∠DBC=∠ACB，BC=2AC，BD=BC，CD、AB交于点E．（1）如图①，当∠ACB=90°时，求出线段DE、CE之间的数量关系；（2）如图②，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；（3）如图③，在（2）的条件下，F是BC边的中点，连接DF交AB于点G，若CE=2，求DF的长．4．（2013•武汉模拟）已知等边△ABC边AB上一动点P，连PC，在PC上方作等边△PDC，连AD．（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，若AP=2BP，过P点作PF⊥CD，交AC于E，交CD于F，AC与PD相交于N点，求证：PN=2DN；（3）在（2）中，若CD=3，求PE的长．5．（2013•朝阳区一模）在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E分别为AB、AC上的点．（1）如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CF∥EB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出的值；（2）如图2，CE=kAB，BD=kAE，，求k的值．6．（2013•浦东新区一模）如图，已知在△ABC中，∠A=90°，，经过这个三角形重心的直线DE∥BC，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，过点P分别做PM⊥BC，PF⊥AB，PG⊥AC，垂足分别为点M、F、G．设BM=x，四边形AFPG的面积为y．（1）求PM的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）连接MF、MG，当△PMF与△PMG相似时，求BM的长．7．（2013•香坊区三模）在四边形ABCD中，点E是CD上一点，BC2=CE•CD，连接BD．（1）如图1，若BD=DE，求证：2∠CBD﹣∠BDC=180°；（2）如图2，在（1）的条件下，过点A作BC的平行线交BD于点N，交CD于点G，将射线BC沿BE翻折交CD于点F，连接AF交BD于点H，若∠DAN=∠ABD，AD=BE，请探究线段AH与BH之间的数量关系，并证明你的结论．8．（2013•道里区三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在CA延长线上，DE⊥CE，CE=CB，DF平分∠EDC交AB于点F，连接DF．（1）∠EFD=90°+；（2）设DF的延长线交BC于点G，连接FC，若FG：DF=3：2，请你探究线段CF与线段AF之间的数量关系，并证明你的结论．9．（2013•新洲区模拟）等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边AB上一点，以CD为直角边作等腰Rt△CDE，其中∠DCE=90°，CD=CE，直线BC、DE交于点F．（1）如图1，若CD=DF，求证：AD=（﹣1）BD；（2）如图2，若BD=2AD，判断DF与EF之间的数量关系，并证明；（3）如图3，当点D在BA的延长线上时，若AB=kAD，则DF=EF．（用含k的式子表示）10．（2013•镇赉县校级一模）已知点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE．①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）；（2）如图2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，则线段BD与CE又有怎样的数量关系？并说明理由；∠BMC=（用α表示）．11．（2013春•盐都区期末）如图①，将直角梯形OABC放在平面直角坐标系中，已知OA=5，OC=4，BC∥OA，BC=3，点E在OA上，且OE=1，连接OB、BE．（1）求证：∠OBC=∠ABE；（2）如图②，过点B作BD⊥x轴于D，点P在直线BD上运动，连接PC、PE、PA和CE．①当△PCE的周长最短时，求点P的坐标；②如果点P在x轴上方，且满足S△CEP：S△ABP=2：1，求DP的长．12．（2013春•成都期末）如图1，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，E是边BC上一点，EM⊥AE，EM交边AC于点M，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：△ABH∽△ECM；（2）如图2，其它条件不变的情况下，作CF垂直BC于点C，并与EM延长线交于点F，若E是BC中点，BC=2AB，试判四边形ABCF的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=2，求AH的长．13．（2012秋•西岗区期末）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，（1）如图1，P为AB边上的一动点，连接PD并延长到点E，使得DE=PD，以PE，PC为边作平行四边形PEFC①平行四边形PEFC能否为矩形？若能，求出此时AP的长；若不能，说明理由．②线段FP能否垂直于AB？若能，求出此时AP的长；若不能，说明理由．（2）如图2，若P为CD边上一动点，连接PA并延长到点E，使得AE=nPA，以PE、PB为边作平行四边形PEFB，线段PF能否垂直于CD？若能，求出此时PD的长（用含n的代数式表示）；若不能，说明理由．14．（2013秋•青羊区校级期中）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）．（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x．①若BM=，求x的值；②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；③如图2，当x取何值时，∠BAD=15°？15．（2013秋•兰溪市校级期中）将一块足够大的三角形板，其直角顶点放在点A（3，2），两直角边分别交x轴、y轴于点B，C．设B（t，0）．（1）如图1，当t=3时，求线段BC的长；（2）如图2，点B，C分别在x轴，y轴的正半轴上，设△BOC的面积为S，试求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；（3）取BC的中点D，过点D作y轴的垂线与直线AC交于点E，△CDE能否成为等腰三角形？若能，请求出点B的坐标；若不能，请说明理由．16．（2013春•惠山区期中）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n（1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对证明它们相似；（2）根据图1，求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．旋转△AFG，使得BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由．17．（2013春•亭湖区校级期中）（1）如图1，把两块全等的含45°的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点E与三角板ABC的斜边中点重合．可知：△BPE∽△CEQ（不需说理）（2）如图2，在（1）的条件下，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点E旋转，让三角板两边分别与线段BA的延长线、边AC的相交于点P、Q，连接PQ．①若BC=4，设BP=x，CQ=y，则y与x的函数关系式为；②写出图中能用字母表示的相似三角形；③试判断∠BPE与∠EPQ的大小关系？并说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，将三角板ABC改为等腰三角形，且AB=AC，三角板DEF改为一般三角形，其它条件不变，要使（2）中的结论③成立，猜想∠BAC与∠DEF关系为．（将结论直接填在横线上）（4）如图3，在（1）的条件下，将三角板ABC改为等腰三角形，且∠BAC=120°，AB=AC，三角板DEF改为∠DEF=30°直角三角形，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点E旋转，让三角板两边分别与线段BA的延长线、边AC的相交于点P、Q，连接PQ．若S△PEQ=2，PQ=2，求点C到AB的距离．18．（2013秋•沈丘县校级期中）有两个全等的等腰直角△ABC、△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，AB=AC=DE=DF=2．将△DEF的顶点E放在BC上移动（E与B、C不重合），在E点移动过程中，始终保持DE经过点A，EF交BC于点G．当E为BC的中点时，如图①，易证△ABE∽△ECG．（1）当E不是BC的中点时，如图②，△ABE∽△ECG还成立吗？请说明理由（2）在图②中，如果BE=1，求CG的长；（3）在E点移动过程中，CG的长也在变化，请直接写出CG的最大值．19．（2012•三明）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）20．（2012•营口）如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：AE=DF；（2）如图2，若AB=2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；（3）如图3，若AB=，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．①直接写出线段AE长度的取值范围；②判断△GEF的形状，并说明理由．21．（2012•镇江）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）．（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x．①若BM=，求x的值；②求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值；③连接DE分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）．当x为何值时，∠BAD=15°？此时，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．22．（2012•莆田）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD•AC；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．，求的值；（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明．23．（2012•哈尔滨）已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN．（1）如图1，求证：PC=AN；（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3