空间向量及其线性运算

第三章第1课时空间向量及其线性运算1．空间向量的概念及表示(1)与平面向量一样，我们把空间中具有和的量叫做空间向量，向量的叫做向量的长度或模．(2)与平面向量一样，空间向量也用表示．起点是A，终点是B的向量a也可以记作.其模记作.大小方向大小有向线段AB→|a|或|AB→|(3)的向量叫做零向量，记为0；模为的向量叫做单位向量．(4)的向量称为相等向量．与向量a的向量称为a的相反向量，记为.长度为01方向相同且模相等长度相等方向相反－a2．空间向量的线性运算空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样．(1)加法满足平行四边形法则，加法和减法满足三角形法则，加法的交换律、结合律都成立．(2)实数λ与向量a的乘积λa是一个向量，λ0时，λa与a方向相同，λ0时，λa与a方向相反，λ0时，λa＝，其方向是任意的，|λa|＝.＝0|λ|·|a|设λ、μ是实数，则有①分配律：λ(a＋b)＝②结合律：λ(μa)＝.λa＋λb(λμ)a1．空间向量的加法、减法的意义及运算律与平面向量类似，这些运算不但适合中学里的代数运算律，而且有很多性质与实数性质完全相同．空间任意两个向量都可以(通过平移)转化为共面向量，两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．设OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b.此法则称为向量的加法法则．空间向量加法适用平行四边形法则和三角形法则(多边形法则)，多边形法则的规则是“首尾相接，首指向尾”．即有限多个空间向量a1，a2，……an相加，也可以象平面向量那样，从某点O出发，逐一引向量OA1→＝a1，A1A2→＝a2，……An－1An＝an，于是以所得折线OA1A2……的起点O为起点，终点An为终点的向量OAn→，就是a1，a2，……，an的和，即OAn→＝OA1→＋A1A2→＋……An－1An＝a1＋a2＋……＋an.用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点上，这时的和向量就为零向量．2．向量减法满足三角形法则：“同始连终、指向被减”．即以同一点O作始点，作OA→＝a，OB→＝b，连结终点A，B，则AB→＝b－a，BA→＝a－b.也可以由向量的加法来定义：减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量．由此可以推出向量等式的移项方法，即将其中任意一项变号后，从等式一端移到另一端．课堂典例讲练命题方向空间向量的概念辨析[例1]下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有AB→＋AD→＝AC→[答案]B思路方法技巧[分析]给出的命题都是对向量的有关概念及加减法的理解，解答本题应紧扣向量及其加减运算的有关概念进行．[解析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定，由a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有AB→＋AD→＝AC→，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．[点评](1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键．判断下列命题的真假．(1)空间向量就是空间中的一条有向线段；(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(4)向量BA→与向量AB→的长度相等．[解析](1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．(4)真命题，BA→与AB→仅是方向相反，它们的长度是相等的．命题方向空间向量的加减运算[例2]如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA′→－CB→；(2)AA′→＋AB→＋B′C′→.建模应用引路[分析](1)分析题意→将CB→等价转化为DA→→DA→转化为－AD→→平行四边形法则→得出结论(2)应用平行四边形法则先求AA′→＋AB→→应用三角形法则求AB′→＋B′C′→→得出结论[解析](1)AA′→－CB→＝AA′→－DA→＝AA′→＋AD→＝AA′→＋A′D′→＝AD′→.(2)AA′→＋AB→＋B′C′→＝(AA′→＋AB→)＋B′C′→＝AB′→＋B′C′→＝AC′.向量AD′→、AC′→如图所示．[点评]化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，化简式子：DA→－DB→＋B1C→－B1B→＋A1B1→－A1B→，并在图中标出化简结果的向量．[解析]如图，∵DA→－DB→＝DA→＋BD→＝BA→，B1C→＋A1B1→－A1B→＝B1C→＋BB1→＝BC→，BA→＋BC→＝BD→，BD→－B1B→＝BD→＋BB1→＝BD1→，∴原式＝(DA→－DB→)＋(B1C→＋A1B1→－A1B→)－B1B→＝BA→＋BC→－B1B→＝BD1→.[例3]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面A1B1C1D1的中心，设AA1→＝c，AB→＝a，AD→＝b，用a、b、c表示下列向量：BC1→、AC1→、BD1→、CO→.命题方向空间向量的数乘运算[分析]用a、b、c表示待求向量，应充分利用长方体的特殊性和向量的“自由”移动性求解．[解析]BC1→＝BC→＋BB1→＝AA1→＋AD→＝b＋c，AC1→＝AC→＋CC1→＝AB→＋AD→＋CC1→＝a＋b＋c，BD1→＝AD1→－AB→＝AD→＋AA1→－AB→＝b＋c－a，CO→＝CC1→＋C1O→＝AA1→＋12C1A1→＝AA1→＋12(C1D1→＋C1B1→)＝AA1→＋12(－AB→－AD→)＝c－12a－12b.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC，A1B1的中点，设DA→＝a，DC→＝b，DD1→＝c，用a、b、c表示向量B1E→，CF→.[解析]B1E→＝B1B→＋BE→＝B1B→＋12BC→＝－DD1→－12DA→＝－c－12a；CF→＝CC1→＋C1F→＝CC1→＋C1B1→＋12B1A1→＝DD1→＋DA→－12DC→＝c＋a－12b.[点评]用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功，直接关系到本章学习的成败，应认真体会，并通过训练掌握向量线性运算法则和运算律.命题方向综合应用[例4]底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′.求证：AC→＋AB′→＋AD′→＝2AC′→.探索延拓创新[分析]由条件知，该几何体的各面均为平行四边形，依据平行四边形法则可以将AC→，AB′→，AD′→用AB→，AD→，AA′→表示，再由空间向量可自由平移的特性转化后获证．[解析]∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC→＝AB→＋AD→，AB′→＝AB→＋AA′→，AD′→＝AD→＋AA′→，∴AC→＋AB′→＋AD′→＝(AB→＋AD→)＋(AB→＋AA′→)＋(AD→＋AA′→)＝2(AB→＋AD→＋AA′→)．又∵AA′→＝CC′→，AD→＝BC→，∴AB→＋AD→＋AA′→＝AB→＋BC→＋CC′→＝AC→＋CC′→＝AC′→，∴AC→＋AB′→＋AD′→＝2AC′→.[点评]利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：返回如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AB→＋BC→－C1C→；(2)12AB→－12DA→－A1A→.例2返回【思路点拨】化简向量时，一般先利用平行四边形得到相等向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简．返回【解】(1)AB→＋BC→－C1C→＝AB→＋BC→＋CC1→＝AC→＋CC1→＝AC1→.(2)12AB→－12DA→－A1A→＝12(AB→＋AD→)＋AA1→＝12AC→＋AA1→＝A1E→＋AA1→＝AE→.向量AC1→，AE→如图所示．返回【名师点评】掌握向量加减的运算法则及向量加法的交换律、结合律等基础知识，在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，降低出错率．返回(本题满分14分)如图所示，ABCD、ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点．判断CE→与MN→是否共线．例3返回【思路点拨】要判断CE→与MN→是否共线，由共线向量定理就是判断是否存在实数x使CE→＝xMN→.若存在，则CE→与MN→共线，否则CE→与MN→不共线．返回【规范解答】∵M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，∴MN→＝MA→＋AF→＋FN→＝12CA→＋AF→＋12FB→.6分又∵MN→＝MC→＋CE→＋EB→＋BN→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→，∴12CA→＋AF→＋12FB→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→.11分返回∴CE→＝CA→＋2AF→＋FB→＝2(MA→＋AF→＋FN→)．∴CE→＝2MN→.∴CE→∥MN→，即CE→与MN→共线.14分返回【名师点评】(1)判定两向量共线就是找x使a＝xb，充分运用空间向量运算法则并结合空间图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b；(2)证明空间图形中的两线平行可以先证明两线所在的向量平行，然后观察图形找出在一直线上有一点不在另一直线上，则两直线平行．返回自我挑战2如图所示，正方体AC1中，M，N分别为棱D1C1，B1C1的中点，求证M，N，B，D四点共面．返回证明：∵MN→＝12D1B1→＝12DB→，∴MN→，DB→共线．从而可知MN∥BD.∴M，N，B，D四点共面．设有空间四边形ABCD，对角线AC和BD的中点分别为L和M，求证：AB→＋CB→＋AD→＋CD→＝4LM→.[解析]取CD的中点E，连接EL、EM，则LE→＋EM→＝LM→，LE→＋EM→＝12AD→＋12CB→＝12(AD→＋CB→)，所以AD→＋CB→＝2LM→.同理，AB→＋CD→＝2LM→.所以AB→＋CB→＋AD→＋CD→＝4LM→.[例5]在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1B1的中点，N是棱CC1的一个三等分点，设AB→＝e1，AC→＝e2，AA1→＝e3，用e1，e2，e3表示MN→.[错解]∵M为A1B1的中点，∴C1M→＝12(C1A1→＋C1B1→)＝12(CA→＋CB→)＝12(CA→＋AC→－AB→)＝－12AB→＝－12e1，又N为C1C的一个三等分点，∴C1N→＝13C1C→＝13A1A→＝－13e3，∴MN→＝C1M→－C1N→＝－12e1＋13e3.名师辨误作答[辨析]解答中有两处错误：一处是N为棱C1C的一个三等分点，并没有指出N靠近C1还是C，错解只考虑了一种情形；第二处是向量减法的三角形法则运用错误，在△ABC中，BC→＝AC→－AB→，而不是BC→＝AB→－AC→.[正解]∵M为A1B1→的中点，∴C1M→＝12(C1A1→＋C1B1→)＝12(CA→＋CB→)＝12(CA→＋AB→－AC→)＝－AC→＋12AB→＝12e1－e2，∵N为CC1的一个三等分点，∴C1N→＝13C1C→或C1N→＝23C1C→，当C1N→＝13C1C时，MN→＝C1N→－C1M→＝13C1C→－C1M→＝12e1－e2－13e3；当C1N→＝23C1C→时，同理MN→＝12e1－e2－23e3.方法规律总结1．解概念辨析题时，要特别注意：①零向量；②共线向量与方向相同或相反的向量；③向量共线(平行)与直线平行关系；④向量相等