利用傅里叶级数计算黎曼

数学系毕业论文论文(设计)题目：利用傅里叶级数计算黎曼zeta函数s为正偶数的值姓名学号专业数学与应用数学班级指导教师职称教授提交日期摘要本论文研究了黎曼zeta函数当s为正偶数时的求值问题，如何计算其值便是本文的目的。笔者分别采用了三个不同的函数，利用傅里叶级数的展开式的方法构造出了自然数的正偶数次幂的倒数和，从而提取出后便得到了此函数的求值公式。通过此方法计算出的求值公式中并不包含贝努利数，虽然计算时步骤较多，但相对简单易懂。证明过程相比初等方法更为简洁，相比利用复分析方法使用的理论更为基础。关键词傅里叶级数；黎曼zeta函数；正偶数FourierseriescalculatedtheRiemannzetafunctionspositiveevennumberofvaluesAbstractThispaperstudiestheRiemannzetafunctionwhensispositiveevenwhenthevaluesoftheproblem,howtocalculateitsvalueisthepurposeofthispaper.Theauthorusesthreedifferentfunctions,Fourierseriesexpansionmethodandthestructureofthecountdownisevenpowerofnaturalnumbers,toextractcanbeobtainedaftertheevaluationformulaofthefunction.BythismethodtheevaluationformulacalculateddoesnotcontainaBernoullinumbers,althoughtherearemanycomputationsteps,butrelativelysimpletounderstand.Processofproofismoreconcisethantheelementarymethod,comparedwiththecomplexanalysismethodusingthetheoryasthefoundation.KeywordsFourierseries;Riemannzetafunction；positiveevennumbers.目录1.引言..................................................12.预备知识..............................................23.按0,00,)(xxxxfk的傅里叶级数展开式计算)2(k...........34.按2,,00,)(22xxxxxxfkk的傅里叶级数展开式计算(2)k.........55.按20,)(xxxfk的傅里叶级数展开式计算(2)k............76.主要结论..............................................97.结束语...............................................108.致谢.................................................119.参考文献.............................................121利用傅里叶级数计算黎曼zeta函数s为正偶数的值应用数学指导教师摘要：本文给出黎曼zeta函数)(s当s为正偶数时，利用三个不同函数的傅里叶级数展开式的方法计算出求和公式。1.引言巴塞尔问题是一个非常著名的数学问题，这个问题最先在17世纪的1644年由皮耶特罗•门戈利提出，欧拉在1735年解决。这个问题难倒了以前许多数学家。后来欧拉把这个问题作了一番推广，他的一些想法后来被黎曼在1859年的一篇论文《论小于给定大数的质数个数》中所采用，论文中定义了黎曼zeta函数，并证明了它的一些基本性质。这个问题以瑞士的第三大城市巴塞尔命名，它是数学家欧拉和伯努利家族的家乡。[1]这个问题是精确计算所有平方数的倒数和，也就是以下级数的和：)12111(lim122212nnnn，这个级数的和约等于1.644934。巴塞尔问题就是寻找这个数的准确值，并且证明它是正确的。欧拉发现了其准确值是62，并于1735年公布。他的证明还不是很严密，真正严密的证明于1741年给出。欧拉开始推导62的方法是聪明、新颖的。把有限多项式观察推广到了无穷级数，并假设相同性质对于无穷级数也成立。当然，欧拉的想法并不是严密，还需要进一步的证明，之后他计算了级数的部分和后发现，这个级数真的趋于62。这给了他足够的信心，并把这个结果公诸于众。[2]上述的巴塞尔问题即是求)2(的值，由于这个问题在历史上有众多数学家研究过，笔者正是围绕这一经典的问题展开研究，下面证明更为广泛的命题。22.预备知识下面将采用傅里叶级数来研究函数引理13若在整个数轴上10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式,,2,1,0,cos)(1nnxdxxfan.,2,1,sin)(1nnxdxxfbn引理24若以2为周期的函数f在,上按段光滑，则在每一点fx,,的傅里叶级数收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值，即10)sincos(2200nnnnxbnxaaxfxf（1）若当,)(是xf上的偶函数时，则,)(在xf上的傅里叶级数展开式为10cos2200nnnxaaxfxf00)(2dxxfa0cos)(2nxdxxfan（2）若当,)(是xf上的奇函数时，则,)(在xf上的傅里叶级数展开式为10sin2200nnnxbaxfxf0sin)(2nxdxxfbn其中fbann为,的傅里叶系数。3引理35若f是以2π为周期的函数，则,,2,1,0,cos)(12nnxdxxfaccn.,2,1,sin)(12nnxdxxfbccn3.按0,00,)(xxxxfk的傅里叶级数展开式计算)2(k设0,00,)(xxxxfk，0,00,)(xxxxfk在,上显然按段光滑根据引理1，则)(xf可以展开成傅里叶级数)sincos(2~)(10nxbnxaaxfnnn由于11)(100kdxxdxxfakk当1n时，dxnxxdxnxxfakn0cos1cos)(1，2,1,0n···由分部积分法，可得)(sin!cos)2)(1(sin)1(cossin1cos1342312为积分常数CCnxnknxxnkkknxxnkknxxnknxxnnxdxxkkkkkk若k为偶数，则212210)!12(!)1()1(cos1kiikiinkniknknxdxxa而nxbnsin不管x取π还是0时都为0，所以下面我们省去nxbnsin这一项所以在开区间（-π，π）上，在x时，根据引理3，函数展开式收敛于412122110cos)!12(!)1()1(22)cos(22202)0()0(nkiikiinknnkknxxiknkkxnxaaxxffinnkiikiknnxxikkkx212121cos)1()12(!)1(22将x=π代入上式，得inkiikikknikkk2121211)!12(!)1(222所以当k=2时，求得6)2(2当的偶数为4k时，12121212)2()!12()1()!1(2)1(kiikkikkiikkkk）（时，4k90)4(4;时6k945)6(6;时，8k9450)8(8，时，10k,93555)10(10···.当k为3的奇数时，把k改为k+1即可，即1211121212111121)2()!22(2)1()!2(2)1(1kiikikkikkkiikkkk）（此时有时，3k90)4(4;时5k945)6(6;时，7k9450)8(8，时，9k,93555)10(10···.其中当k=1时，6)2(2.54.按2,,00,)(22xxxxxxfkk的傅里叶级数展开式计算(2)k设2,,00,)(22xxxxxxfkk,)(xf在2,0上显然按段光滑展开为傅里叶级数，根据引理2，有：12)21(2)(1112222022020kdxxdxxdxxakkkkk2202202cos)(1cos1cos1nxdxxnxdxxnxdxxakkkn)(sin!cos)2)(1(sin)1(cossin1cos1342312为积分常数CCnxnknxxnkkknxxnkknxxnknxxnnxdxxkkkkkkkiikiknxikxknxdxx112212cos)!122()!2()1(coskiiikiiknnnikka12221122)!122()!2()1(2)1(2同理,我们下面舍去nxbnsin这一项所以nxnikkkxfnkiiikiiknkkcos)!122()!2()1(2)1(212)21()(01222112222即12122122122cos2)1(2)!122()!2()1(12)21()(niiknkiikikknxnikkkxf根据引理3，当20或x时,由于2)2()0)2((21))00()00((2122kkff所以61212222112221222)1()!122()!2()1(12212niiknikkiikkkknikkk①当x时，由于02)0()0(ff所以121221221222)1(2)!122()!2()1(12210niiknkiikikknikkk②①+②，得：为奇数）（③为偶数nnnikkkniikikiikk0)(1)24()!122()!2()1(12222122222111212①-②，得为偶数）（为奇数）④（nnnikkniikikiik01)24()!122()!2()1(21222221112有③可得：当2k时，2410181614121222222;当3k时，144010181614121444444;当4k时，6048010181614121666666;当5k时，241920010181614121888888;···.由④可得：当1k时，89171513111222222