辽宁省沈阳二中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题

学年度上学期期末考试高二（16届）理科数学试题命题人：高二数学组说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知命题p：xR，||0x，那么命题p为（）A．,0xRxB．,0xRxC.,0xRxD．,0xRx2.已知ab,则下列不等关系正确的是（）A．22abB．22acbcC．22abD．22loglogab3.设直线::(0)lykxmm=+?,双曲线2222:1(0,0)xyCabab,则“bka=-”是“直线l与双曲线C恰有一个公共点“的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件4.有下列四个命题：(1)已知A，B，C，D是空间任意四点，则0ABBCCDDA；(2)若两个非零向量ABCD与满足0ABCD＋＝,则AB‖CD；(3)分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量；(4)对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OPxOAyOBzOC(,,)xyzR,则P,A,B,C四点共面。其中正确命题的个数是（）A.3B.2C.1D.05.设变量x,y满足约束条件222200xyxyxy，则目标函数2zxy的最大值是（）A.4B.2C.1D.236.空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc,点M在OA上，且2OMOA，N为中点，则MN=（）A．121-232abcB．211322abcC．112-223abcD．221-332abc7.已知数列{}na是等比数列，其前n项和为nS，若612369,SSSS则（）A.9B.18C.64D.658.已知双曲线22145xy的右焦点与抛物线2yax的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为（）A.4B.5C.52D.529.定义12...nnppp为n个正数12,,...,nppp的“均倒数”.若已知正数数列{}na的前n项的“均倒数”为121n,又14nnab,则12231011111...bbbbbb()A.111B.112C.1011D.111210.已知P是抛物线xy42上的一个动点,Q是圆22311xy上的一个动点,)0,1(N是一个定点,则PQPN的最小值为（）A.3B.4C.5D.2111.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为1,棱BB1所在直线上的动点M满足1BBBM,AM与侧面BB1C1C所成的角为,若2,22,则的取值范围是()A.6,12B.4,6C.3,4D.125,312.已知双曲线22221(0,0),,xyabMNab是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为1212,(0)kkkk，若12kk的最小值为1，则双曲线的离心率为（）第Ⅱ卷（90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.若(1,1,0),(1,0,2),abab则与同方向的单位向量是________________14.已知数列121,,,9aa是等差数列，数列1231,,,,9bbb是等比数列，则212baa的值为_______.15.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则1DB和11CA所成角大小为____________.16.若0,y0x,且1322xyxy,则65xy的最小值为___________.三、解答题（共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）已知命题p：方程210xmx有两个不相等的实根；q：不等式244(2)10xmx的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围。18.（本小题满分12分）已知等差数列{}na的前n项和为nS,且21017,100aS.(Ⅰ)求数列{}na的通项公式;(Ⅱ)若数列nb满足*cos()2()nnnbannN,求数列nb的前n项和.19.（本小题满分12分）设双曲线2221(0)3yxaa的两个焦点分别为12,FF,离心率为2.(Ⅰ)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；(Ⅱ)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|=5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。20.（本小题满分12分）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12AD=1,CD=3.(Ⅰ)若点M是棱PC的中点,求证:PA//平面BMQ;(Ⅱ)求证:若二面角M-BQ-C为30°,试求PMPC的值。（本小题满分12分）椭圆C：22221(0)xyabab的长轴是短轴的两倍，点1P(3,)2在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为1k、k、2k，且1k、k、2k恰好构成等比数列，记△ABO的面积为S.(Ⅰ)求椭圆C的方程.(Ⅱ)试判断22OAOB是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？(Ⅲ)求S的范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是4cos.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:2222xmtyt(t是参数).(Ⅰ)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且||14AB,试求实数m值.(Ⅱ)设yxM,为曲线C上任意一点，求xy的取值范围.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设不等式*23()xxaaN的解集为A，且32,2AA(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求函数()2fxxax的最小值。PABCDQM学年度上学期期末考试高二（16届）理科数学试题答案一．选择题：1-5CCABC6-12BDBCABB二．填空题：13.（0，55，255）14.31015.6arccos616.13432三．解答题：17、解：因为方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，所以Δ1=m2–40,∴m2或m–2…………3分又因为不等式4x2+4(m–2)x+10的解集为R，所以Δ2=16(m–2)2–160,∴1m3…………6分因为p或q为真，p且q为假，所以p与q为一真一假，…………8分（1）当p为真q为假时，323122mmmmmm或或或…………10分（2）当p为假q为真时，213122mmm综上所述得：m的取值范围是32mm或或21m…………12分18.（I）设an首项为a1，公差为d，则11a+d=1710(2a+9d)1002解得a1=19,d=-2∴an=19+（n-1）×（-2）=21-2n…………（4分）（II）∵bn=ancos（nπ）+2n=（-1）nan+2n当n为偶数时，Tn=b1+b2++bn=（-a1+2）+（a2+22）+（-a3+23）+…+（an+2n）=(-2)×12(12)22212nnnn…………(7分)当n为奇数时，Tn=b1+b2++bn=（-a1+2）+（a2+22）+（-a3+23）+…+（-an+2n）=-a1+(a2-a3)+…+(an-1-an)+2(12)12n=-19+2×12n+2n+1-2=2n+1+n-22…………………（10分）橡皮网在线组卷系统∴Tn=1122(222nnnnnn当为偶数）（当为奇数）………………（12分）19.解：（Ⅰ）∵e=2，∴c2=4a2，∵c2=a2+3，∴a=1，c=2，∴双曲线方程为2213xy，渐近线方程为y=±33x；…………（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y）∵122||5||ABFF∴125||||2ABFF=10∴221212()()xxyy=10…………（6分）又∵y1=33x1，y2=33x2，2x=x1+x2，2y=y1+y2∴y1+y2=33（x1-x2），y1-y2=33（x1+x2）∴2212123[()][3()]3xxyy=10∴3（2y）2+13（2x）2=100∴22317525xy，即为M的轨迹方程。…………（10分）则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上长轴长为103，短轴长为1033的椭圆。……（12分）20.解:证明:(Ⅰ)连接AC,交BQ于N,连接MN∵BC∥AD且BC=12AD,即BC//AQ.∴四边形BCQA为平行四边形,且N为AC中点,又∵点M是棱PC的中点,∴MN//PA∵MN平面MQB,PA平面MQB,∴PA//平面MBQ………………………………4分(Ⅱ)∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD橡皮网在线组卷系统∵AD//BC,BC=12AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD//BQ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD.………………………………6分如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则平面BQC的法向量为(0,0,1)n;(0,0,0)Q,(0,0,3)P,(0,3,0)B,(1,3,0)C则(1,3,3)PC,(0,0,3)QP设,(01)PMtPCt,在平面MBQ中,(0,3,0)QB，(,3,33)QMQPtPCttt,………………8分∴平面MBQ法向量为(33,0,)mtt………………10分∵二面角M-BQ-C为30°,22||||3cos302(33)0nmtnmtt,∴1233,42tt（舍）∴3=4PMPC………………12分21.（1）由题意可知2ab且223114ab21b，所以椭圆的方程为2214xy………………………………3分PABCDQMNxyz橡皮网在线组卷系统（2）设直线l的方程为ykxm（m≠0），1122(,)(,)AxyBxy、由2244ykxmxy222(14)8440kxkmxm12221228144414kmxxkmxxk………………………………4分12kkk、、恰好构成等比数列.2121212yykkkxx=1212()()kxmkxmxx即222222221484444mkkmkkmm22240kmm214k12k………………………………6分此时且2216(14)0km216(2)0m得0＜m2＜2，且m2≠1（否则：x1x2=0，则