工程力学教案 (4)

1第4章平面一般力系4.1力的平移定理4.2平面一般力系向作用面内一点简化4.3简化结果分析4.4平面一般力系的平衡条件及平衡方程4.5物体系统的平衡4.6考虑摩擦时的平衡问题24.1力的平移定理力的平移定理：作用于刚体上的力,可以平行地移动到刚体上任一指定点，为使该力对刚体的作用效果不变，必须同时附加一力偶,其力偶矩等于原力对该指定点的力矩。34.1力的平移定理力的平移定理的逆定理一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一个力偶。反之同平面的一个力F和一个力偶矩为M的力偶也一定能合成为一个大小和方向与力F相同的力。其作用点到力作用线的距离为MdF44.2平面一般力系向作用面内一点简化设在刚体上作用一平面一般力系F1,F2,…Fn各力作用点分别为A1,A2,…An如图所示。在平面上任选一点O为简化中心。5原力系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1,F2，…Fn以及相应的一个力偶矩分别为M1,M2,…Mn的附加平面力偶系。根据力的平移定理,将各力平移到简化中心O。4.2平面一般力系向作用面内一点简化6F1=F1,F2'=F2,…Fn'=FnM1=Mo(F1),M2=Mo(F2),…Mn=Mo(Fn)其中：4.2平面一般力系向作用面内一点简化7一般情况下平面汇交力系F1',F2',…Fn'可合成为作用于O点的一个力,其力矢量R’称为原力系的主矢。FR'=F'i=Fi4.2平面一般力系向作用面内一点简化84.2平面一般力系向作用面内一点简化一般情况下附加平面力偶系可合成一个力偶,其力偶矩Mo称为原力系对于简化中心O的主矩。Mo=Mi=Mo(Fi)9平面一般力系向其作用面内任一点简化，一般可以得到一个力和一个力偶，这个力作用线过简化中心，大小和方向等于该力系的主矢；这个力偶的力偶矩等于该力系对简化中心的主矩。结论4.2平面一般力系向作用面内一点简化力系的主矢FR'只是原力系中各力的矢量和,所以它的大小和方向与简化中心的位置无关。力系对于简化中心的主矩Mo,一般与简化中心的位置有关。10主矢的计算:Mo=Mo(Fi)F/Rx=F/xi=FxiF/Ry=F/yi=Fyi2222)()()()(yxRyRxRFFFFF大小：号判定。指向可根据投影的正负方向：,xyRxRyFFFFtg主矩的计算:4.2平面一般力系向作用面内一点简化11固定端约束:既能限制物体移动又能限制物体转动的约束当被固定端约束的物体所受的主动力是平面一般力系时，物体所受的约束反力也一定形成一个与主动力有关的平面一般力系。4.2平面一般力系向作用面内一点简化124.3简化结果分析(1)FR'0,Mo=0：FR'=FioFR'MOoFR'原力系简化为一个作用于简化中心O的合力FR'13原力系简化为一个力偶.此力偶即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo。Mo=Mo(Fi)oFR'MOoMO(2)FR'=0,Mo0：4.3简化结果分析14oFRo1力系可以简化为一个合力FR,其大小和方向均与FR/相同，但是作用在另一点O1。即：FR=FR'oFR'MOd(2)FR'0,Mo0：根据力的平移定理的逆定理：4.3简化结果分析15其作用线位置与简化中心点O的距离为:oMdR4.3简化结果分析Mo(FR)=FRd=Mo而Mo=Mo(Fi)Mo(FR)=Mo(Fi)OFR01d合力对O点的矩：oRMdFxy(x,0)FRxFRyx16合力矩定理：当平面一般力系简化为一个合力时,合力对力系所在平面内任一点的矩,等于力系中各力对同一点的矩的代数和。Mo(FR)=Mo(FRx)+Mo(FRy)=FRyx=MoRyoRyoFMFMx4.3简化结果分析(4)FR=0,Mo=0原力系为平衡力系，其简化结果与简化中心的位置无关。17四、平行分布的线荷载的简化均布线荷载非均布线荷载---三角形荷载4.3简化结果分析184.3简化结果分析沿同向分布的平行力系必然可以合成一个合力。BAxxdxxqF)(它是分布荷载集度曲线与x轴围成的曲边梯形的面积。由合力矩定理，可以得到合力作用线位置FdxxqxBAxxC)(合力作用线通过该曲边梯形的形心，方向同分布力方向。19AabBql1、均布线荷载的简化FRCl/2合力大小:FR=ql合力作用线通过中心线AB的中点C4.3简化结果分析20ABbqml2、三角形荷载的简化：C2l/3FR合力大小:lqFmR21合力作用点C的位置：lAC324.3简化结果分析21例题1求图示力系合成的结果。xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)123100N=1002N=50N=500NmFFFM已知：，，，O4.3简化结果分析224.3简化结果分析解:1、取0点为简化中心，建立图示坐标系：主矢：FR/=Fi主矩：MA=mA(Fi)xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)OθF/R23xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)O2、求力系的主矢θF/RF/Rx=FiX=F1cosβ-F2cos45o+F3=70NF/Ry=Fiy=F1sinβ+F2sin45o=150N2270150165.53NRRxRyFFF大小：0150arctanarctan6570RyRxFF方向：4.3简化结果分析24xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)OθF/R3、求力系的主矩MO=MO(Fi)=-F1cosβ×1+F1sinβ×2+F2cos450×2-F2sin450×3+M+F3×4=580N·m因为主矢、主矩均不为0，所以简化的最终结果为一个合力，此合力的大小和方向与主矢相同。F1xF1yF2yF2yMO4.3简化结果分析25xyF1(2,1)512βcosβ=12/13sinβ=5/13F2(-3,2)450MF3(0,-4)OθF/RF1XF1yF2xF2yMO4、求合力的作用线位置：05803.87m150RyMxF所以简化的最终结果为一个合力FR。θFRXO14.3简化结果分析264.4平面一般力系的平衡条件及平衡方程一、平面一般力系的平衡条件平面一般力系平衡的必要和充分条件是:力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。FR'=0MO=0二、平面一般力系的平衡方程=0=0主矩：Mo=Mo(Fi)22()()RxyFFF主矢的大小：27(b)二矩式要求：投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直。(c)三矩式要求：三个矩心A,B和C不在一直线上。MA(Fi)=0MB(Fi)=0Fx=0MA(Fi)=0MB(Fi)=0MC(Fi)=0xABABC4.4平面一般力系的平衡条件及平衡方程(a)一矩式Fx=0Fy=0Mo(Fi)=028三、平面平行力系的平衡方程:F1FnFiF2Fx0Fy=0Mo(Fi)=0(a)一矩式AB(b)二矩式MA(Fi)=0MB(Fi)=0xyO4.4平面一般力系的平衡条件及平衡方程291、审题，确定研究对象，取分离体，画受力图；2、适当选取投影轴和矩心或矩轴，列平衡方程；3、解平衡方程，得未知量。最好做到列一个方程，就能解出一个未知量。4.4平面一般力系的平衡条件及平衡方程四、平衡问题求解步骤30l/2l/2ABCMP解:取水平梁AB为研究对象画受力图。l/2l/2ABCMPFAxFAyRB例在水平梁AB上作用一力偶矩为M的力偶,在梁的中点C处作用一集中力P它与水平的夹角为,如图所示。梁长为l且自重不计。求支座A和B的反力。4.4平面一般力系的平衡条件及平衡方程31l/2l/2ABCMPFAxFAyRBFAx-Pcos=0FAx=PcosMA(Fi)=01sin2BMRPl1sin02BMPlRlFAy-Psin+RA=01sin2AyMFPlFx=0Fy=0列平衡方程求解:dxy04.4平面一般力系的平衡条件及平衡方程32例：塔式起重机如图所示。设机身的重力为G1，载重的重力为G2，距离右轨的最大距离为L，平衡重物的重量为G3，求起重机满载和空载均不致翻倒时，平衡重物的重量G3所满足的条件。G2G1CeabLG3AB4.4平面一般力系的平衡条件及平衡方程33G2G1CeabLFAFBG3AB解：取起重机为研究对象，画出受力图1、满载时，当重物距离右轨最远时，当起重机平衡时mB(F)=0-G1·e-G2·L-FA·b+G3·(a+b)=0FA=[-G1·e-G2·L+G3·（a+b）]/b起重机不翻倒的条件为：FA0G3(G1×e+G2×L)/（a+b）4.4平面一般力系的平衡条件及平衡方程342、空载时，G2=0，当起重机平衡时：mA(F)=0G3·a-G1·(b+e)+FB·b=0FB=[-G3·a+G1·(b+e)]/b起重机不翻倒的条件为：FB0G3G1·(b+e)/a(G1·e+G2·L)/(a+b)G3G1·(b+e)/a所以，两种情况下起重机均不翻倒的条件为：G2G1CeabLFAFBG3AB4.4平面一般力系的平衡条件及平衡方程354.5物体系统的平衡当物体系统处于平衡时，其中的每一部分也一定处于平衡。因此，在解决物体系统的平衡时，既可选取整体为研究对象，也可选取其中的某部分为研究对象，然后列出相应的平衡方程以解出所需的未知量。物体系统是指由若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统。内力：系统内各个物体之间的作用力。外力：系统外其它物体对系统内物体的作用力。内力不出现在整体的受力图中。36例：图示平面结构，由悬臂刚架ABC和梁CD铰接而成。已知F=10kN,qB=6kN/m。求A、C和D的约束反力。CqBF1m2m2mAB2mD4.5物体系统的平衡37CDqCFCxFCyFDFq11123KN2qcFq13KN/m2cBqqMC(Fi)=0m3212203qDFFFD=1KNFx=0Fcx=0Fy=0Fcy+FD-Fq1=0Fcy=2KN解：（1）取梁CD为研究对象，受力分析：4.5物体系统的平衡381412KN2qBFqFAyFqFAxMAMA(Fi)=042403AqDMFFFMA=-8KN.mFx=0FAx-F=0Fy=0FAy+FD-Fq=0FAy=11KN（2）取整体为研究对象，受力分析：FAx=10KNFDADxy0BCqBF344.5物体系统的平衡39例：组合梁ABC的支承与受力情况如图所示。已知P=30kN,Q=20kN,=45o。求支座A和C的约束力。2m2m2m2mPQABC4.5物体系统的平衡402m2mQBCFBxFByRC解：1、取BC杆为研究对象画受力图。MB(Fi)=0-Q×2sin+4RC=0RC=7.07kNd4.5物体系统的平衡412、取整体为研究对象画受力图2m2m2m2mPQABCMARCFAxFAy4.5物体系统的平衡Fx=0FAx-Qcos=0Fy=0FAy-P-Qsin+RC=014.14kNFAx=Qcos=FAy=37.07kNMA(Fi)=0MA-2×P-Q×6sin+8RC=0MA=31.72kN.m424.5物体系统的平衡构架尺寸如图所示。已知lBDRl2,2C为BD的中点，物重为G，各杆及滑轮的重量不计,铰链均为光滑,绳子不可伸长。试求A、B处的约束力及C处所受的力。434.5物体系统的平衡解：（1）以BD为研究对象，受力如右图。0)(iCFM0lFlFDyBy()0BiMF20CyDyFllF22CyDyFFG0xF0CxBxDxFFF444.5物体系统的平衡（