三角函数图像与性质复习学案

高一数学期末学案三角函数的图像与性质第1页《三角函数的图像与性质》复习学案【知识自主梳理】1．三角函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域值域周期性奇偶性对称中心对称轴单调性2.正弦函数y＝sinx当x＝____________________________________时，取最大值1；当x＝____________________________________时，取最小值－1.3．余弦函数y＝cosx当x＝__________________________时，取最大值1；当x＝__________________________时，取最小值－1.【考点巩固训练】探究点1三角函数的单调性例1求函数y＝2sinπ4－x的单调递减区间．变式迁移(1)求函数y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间；(2)求函数y＝3tanπ6－x4的周期及单调区间．探究点2三角函数的值域与最值例2求函数y＝3cosx－3sinx，（x∈R）的值域：互动探究将条件“x∈R”改为“x∈[0，π2]”，结果如何？变式迁移求下列函数的值域：(1)y＝－2sin2x＋2cosx＋2；(2)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.例3已知函数f(x)＝2asin(2x－π3)＋b的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．变式迁移设函数f(x)＝acosx＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝bsin(ax＋π3)的周期．高一数学期末学案三角函数的图像与性质第2页《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象》复习学案【知识自主梳理】1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图，要找五个特征点．如下表所示．xωx＋φy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.由函数y=sinx的图象得到函数y=Asin(x+)的图象间的两种不同途径：【考点巩固训练】探究点1三角函数的图象及变换例1设f(x)＝12cos2x＋3sinxcosx＋32sin2x(x∈R)．(1)画出f(x)在－π2，π2上的图象；(2)求函数的单调增减区间；(3)如何由y＝sinx的图象变换得到f(x)的图象？探究点2求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2，x∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f(x)的解析式．变式迁移已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)若锐角θ满足cosθ＝13，求f(4θ)的值．【课堂自主检测】1．要得到函数y＝sin2x－π4的图象，可以把函数y＝sin2x的图象()A．向左平移π8个单位B．向右平移π8个单位C．向左平移π4个单位D．向右平移π4个单位2．已知函数f(x)＝sinωx＋π4(x∈R，ω0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是()A.π2B.3π8C.π4D.π83．函数y＝sin2x－π3的一条对称轴方程是()A．x＝π6B．x＝π3C．x＝π12D．x＝5π124．如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是()A．y＝sinx＋π6B．y＝sin2x－π6C．y＝cos4x－π3D．y＝cos2x－π65．为得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()A．向左平移5π12个单位长度B．向右平移5π12个单位长度C．向左平移5π6个单位长度D．向右平移5π6个单位长度6．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象如图所示，f(π2)＝－23，则f(0)等于A．－23B．－12C.23D.127．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2，x∈R)的图象的一部分如下图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[－6，－23]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．高一数学期末学案三角函数的图像与性质第3页《三角函数的图像与性质》参考答案例1解题导引求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω0)”视为一个“整体”；②A0(A0)时，所列不等式的方向与y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．解y＝2sinπ4－x2sin()4x，设u＝4x则2kπ－π2≤u≤2kπ＋π2(k∈Z)，即2kπ－π2≤4x≤2kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－π4≤x≤2kπ＋3π4(k∈Z)，即y＝2sinπ4－x的递减区间为[2kπ－π4,2kπ＋3π4](k∈Z)变式迁移解(1)由y＝sinπ3－2x，得y＝－sin2x－π3，由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，又x∈[－π，π]，∴－π≤x≤－712π，－π12≤x≤512π，1112π≤x≤π.∴函数y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间为－π，－712π，－π12，512π，1112π，π.(2)函数y＝3tanπ6－x4的周期T＝π－14＝4π.由y＝3tanπ6－x4得y＝－3tanx4－π6，由－π2＋kπx4－π6π2＋kπ得－43π＋4kπx83π＋4kπ，k∈Z，∴函数y＝3tanπ6－x4的单调递减区间为－43π＋4kπ，83π＋4kπ(k∈Z)．例2y＝3cosx－3sinx＝23cos(x＋π6)所以函数y＝3cosx－3sinx，（x∈R）的值域为[－23，23]．互动探究∵x∈[0，π2]，∴π6≤x＋π6≤2π3，∴－12≤cos(x＋π6)≤32∴－3≤y≤3，故函数值域为[－3，3]．变式迁移(1)y＝－2sin2x＋2cosx＋2＝2cos2x＋2cosx＝2(cosx＋12)2－12，cosx∈[－1,1]．当cosx＝1时，ymax＝4，当cosx＝－12时，ymin＝－12，故函数值域为[－12，4]．(2)令t＝sinx＋cosx=2sin(x＋4)，则－2≤t≤2s，且.inxcosx＝t2－12∴y＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1；当t＝2时，ymax＝12＋2.∴函数值域为[－1，12＋2]．方法总结：1．对于形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y＝asinωx＋bcosωx＋c的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c的形式，从而求得函数的最值．2．关于y＝acos2x＋bcosx＋c(或y＝asin2x＋bsinx＋c)型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．例3解题导引解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题．解∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤23π，∴－32≤sin(2x－π3)≤1，若a0，则2a＋b＝1－3a＋b＝－5，解得a＝12－63b＝－23＋123；若a0，则2a＋b＝－5－3a＋b＝1，解得a＝－12＋63b＝19－123.综上可知，a＝12－63，b＝－23＋123或a＝－12＋63，b＝19－123.变式迁移解∵x∈R，∴cosx∈[－1,1]，若a0，则a＋b＝1－a＋b＝－3，解得a＝2b＝－1；若a0，则a＋b＝－3－a＋b＝1，解得a＝－2b＝－1.所以g(x)＝－sin(2x＋π3)或g(x)＝－sin(－2x＋π3)，周期为π.高一数学期末学案三角函数的图像与性质第4页《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象》参考答案【例1】解y＝12·1＋cos2x2＋32sin2x＋32·1－cos2x2＝1＋32sin2x－12cos2x＝1＋sin2x－π6.(1)(五点法)设X＝2x－π6，则x＝12X＋π12，令X＝0，π2，π，3π2，2π，于是五点分别为π12，1，π3，2，7π12，1，5π6，0，13π12，1，描点连线即可得图象：(2)由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得单调增区间为－π6＋kπ，kπ＋π3，k∈Z.由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得单调减区间为π3＋kπ，kπ＋5π6，k∈Z.(3)把y＝sinx的图象向右平移π6个单位；再把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得y＝sin2x－π6＋1的图象．例2解题导引确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤：(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω.确定函数的周期T，则ω＝2πT.(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．解由图象可知A＝2，T＝8.∴ω＝2πT＝2π8＝π4.由图象过点(1,2)，得2sinπ4×1＋φ＝2，∴sinπ4＋φ＝1.∴2,42k∴2,4kkZ|φ|π2，∴φ＝π4，∴f(x)＝2sinπ4x＋π4.变式迁移解(1)由题意可得：A＝2，T2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝12，f(x)＝2sin12x＋φ，f(0)＝2sinφ＝1，∴2,6kkZ由|φ|π2，∴φ＝π6.∴f(x)＝2sin(12x＋π6)．f(x0)＝2sin12x0＋π6＝2，所以12x0＋π6＝2kπ＋π2，x0＝4kπ＋2π3(k∈Z)，又∵x0是最小的正数，∴x0＝2π3.(2)f(4θ)＝2sin2θ＋π6＝3sin2θ＋cos2θ，∵θ∈0，π2，cosθ＝13，∴sinθ＝223，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－79，sin2θ＝2sinθcosθ＝429，∴f(4θ)＝3×429－79＝46－79.【课堂自主检测】参考答案1.B2.D3.D4.D5.A6.C7．解(1)由图象知A＝2，∵T＝2πω＝8，∴ω＝π4.…………………………………………………………(2分)又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.∵|φ|π2，∴φ＝π4.∴f(x)＝2sin(π4x＋π4)．…………………………………………………(5分)(2)y＝f(x)＋f(x＋2)＝2sin(π4x＋π4)＋2sin(π4x＋π2＋π4)＝22sin(π4x＋π2)＝22cosπ4x.………………………………………………(8分)∵x∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x≤－π6.∴当π4x＝－π6，即x＝－23时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；当π4x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22.………………(12分)