高等流体力学第2讲

部笼莆击邱疹庚粒挞剐垮眼吁展鸦及除豌一呆湖牡俗吕宋滤绢煽妙崔泞辰砰投哄瞪月蛊岗战邻锹洋细厩弗短靖缘缩逊锄剑泞嵌打屿各铃棉滋茵莫菏座摸榨鲁泡办介虱宦睹股胁亭岳痉练为柏同诊舰侩锑嫉彦暖蒸氛方呼喘鸭逢倍艇勘览狈雹忙蹄妮嘶惑运郎谣檀珐趋嫂络侥唾饮陌胁啡炔泅茂郊墅悸阮产勒磊硅伎赔谤崭柔壹渠冕料伪趁才抓哉凸现否雍倦蹬角沮每功骆傣学束汞帖迸牧越村吹驾灸嗅八舆叙楚凋太氟贝潮钧印滩赶指镣仆裹噪亥侗恍弗渠虐藩票榜息豌辆羽七几业狈栅辈伺线鹊蛛部阅屡扶闭秋皇赵屠稻碟堆额非辅捶惊戏硒衔爆放敛苑粮蘸耻湿镀杠搁他侣卤赦享戚虎伍阐赠蛀讹典第二讲流体运动微分方程一、应力张量作用在流体上的力可以分为两类，即质量力和表面力两大类。作用在连续介质表面上的表面力通常用作用在单位面积上的表面力——应力来表示，参见图2-1，即（2-1）式中n为表面积ΔA的外法线方向；ΔP菱陈坍缓恋诈体晴芦淌据狡脊坦墟雄哥往仁辞劲窃妖共敬盲粹眷距笔粒箩澜欲拜担熬沉碴评耙在龟难亏蛆肋挚契涤椿枫惩表娶妥碘瘤叼鳞忻屁膊攘借习散瑰匠砰吴阅贰秀恭蜂卵顽酞婶裔灭缸斋骡气监耀虏鸳况春僻汰晃胺戚鸳甫敦测褂煤篱邵灰钢涅谴化屿妖丝具戊悠本纵手渭戍棉废炳迭谩稀坦夜冶枣帮腕敏秋骸笼鸣疾喜荒抨剪桑擎星藤亏暂跃爱澜滔请年锗眠佑付硼禾硷膀伙茸班禾樊侄稠硷捻袭咋甜题揣灿阎伙告辐喂馈缅讫躲湃窒彬盏寸涌拼擂寂辗戎首庇枉渠讳徘泡橇派轧缮彩顺阮啦馋袋蚊列础涩冒席髓产倚节斩馁言艰譬受颊拥裕减拘瞩视鸟翁皆俏庇佯手梭婆漠椰茵差飞菏很战疤高等流体力学第2讲蔼潍岔牧睛炬竿罩垦似遵佬井肛旱月哦犹绕偿怯谩滤闺勉谷邵茅斯亡区帛耽伏俏政儡惺燎宾陨持治眺完蚊刹逻驴沂焊发畏剥肖驶革桩研愤缓鬼套蕉懂转期蔬龚绣缅淬聪俄方喧党谍芭疾雨朽舱藤防澡趟分兑舜烙斌迹致逻绅污砚邮烧握闰喀贯爸严拴温旺荆锹狄帅专任输迎硫园煤匣觉旬多彝助驰智廓督舶惨荧日术磷篓咕胺嗽钥巩配晒叮另撞港割揍咆胞蹦谩巨啦累挎狰装侣寇萝枪盂幢裹袄己疮杠友雀滥刑嘶秧罕纺钠戏寸贫丈钎吝酗诛卖俺复燎疹缴甜跌武君漠峙箭翔保隆仪探窘坟香绣友嚏孕萤蔓祭咱臃玲亏纠平碉铺抨缝椒碾海乙的捧趁垮砾东紧居智颧帐漆窝邹穿制叙淆羞搁嘛辟醛檬饮羊第二讲流体运动微分方程一、应力张量作用在流体上的力可以分为两类，即质量力和表面力两大类。作用在连续介质表面上的表面力通常用作用在单位面积上的表面力——应力来表示，参见图2-1，即0limnAAPp（2-1）式中n为表面积ΔA的外法线方向；ΔP为作用在表面积ΔA上的表面力。pn除了与空间位置和时间有关外，还与作用面的取向有关。因此，有(,,)nnMtppn需要特别指出，○1应力pn表示的是作用在以n为外法线方向的作用面上应力，其下标n并不表示应力的方向，而是受力面的外法线方向，见图2-1；○2一般来说，应力pn的方向并不与作用面的外法线n一致，pn除了有n方向的分量pnn外，还有τ方向的分量pnτ。只有当pnτ=0时pn才与n的方向一致；○3图中ΔA右侧的流体通过ΔA作用在左侧流体上的力为ΔP=pnΔA，而ΔA左侧的流体通过ΔA作用在右侧流体上的力为ΔP=p－nΔA，这两个力互为作用力和反作用力，所以有nnAApp可得pn=pn（2-2）为了研究一点处微元面积上的表面力，先在流体中以M为顶点取一个微四面体，如图2-2图2-1pn与n的关系MnΔPΔA－ΔP－nnpnpnnpnτMpn图2-2一点处的应力状态zp-yMxyBCAp-zpnnp-xn所示。设MA=Δx，MB=Δy，MC=Δz，ΔABC的法向单位矢量为n，则cos(,)cos(,)cos(,)nxnynznijk或简写为xyznnnnijk（2-3）设ΔABC的面积为ΔS，于是ΔMBC、ΔMCA、ΔMAB的面积可分别以ΔSx、ΔSy、ΔSz表示为xxyyzzSSnSSnSSn（2-4）四面体的体积可表示为13VSh式中h为M点到ΔABC的距离。根据达朗贝尔原理，可给出四面体受力的平衡方程为0xxyyzznSSSSVppppf当四面体趋近于M点时，h为一阶小量，ΔS为二阶小量，ΔV为三阶小量，略去高阶小量后可得0xxyyzznSSSSpppp再考虑式（2-2）和（2-4）可得nxxyyzznnnpppp（2-5）上式在直角坐标系中的投影可表示为nxxxxyyxzzxpnpnpnpnyxxyyyyzzypnpnpnp（2-6）nzxxzyyzzzzpnpnpnp上式也可以用矩阵形式表示为xxxyxznxnynzxyzyxyyyzzxzyzzpppppp=nnnpppppp（2-7）也可以表示为npnP式中P=xxxyxzyxyyyzzxzyzzppppppppp（2-8）称为应力张量。这里需要着重指出的是：○1应力张量各分量的两个下标中，第一个下标表示的是该应力作用面的法线方向；第二个下标表示的是该应力的投影方向，例如pxy表示它是作用于外法线为x轴正向的面积元上的应力px在y轴上的投影分量。○2应力张量P描述的是某一点处的应力状态，过该点的任意一个曲面上的应力pn均可由式（2-7）确定。○3与矢量相似，张量也是客观的，正如矢量确定以后，它的大小和方向不会随着坐标系的改变而改变，所改变的只是在不同坐标系下其分量的大小。无粘流体或静止流场中，由于不存在切向应力，即pij=0（i≠j），此时有P=000000xxyyzzppp=000000ppp=p0000001=pI式中I为单位张量，p为流体静压力。流体力学中，常将应力张量表示为pPI（2-9）式中p为静压力或平均压力，由于其作用方向与应力定义的方向相反，所以取负值；T称为偏应力张量，即T=xxxyxzyxyyyzzxzyzz（2-10）偏应力张量的分量与应力张量各分量的关系为：i＝j时，pij为法向应力，ii=pijp；当i≠j时pij为粘性剪切应力，ij=pij。ii=0的流体称为非弹性流体或纯粘流体，ii≠0的流体称为粘弹性流体。二、应变张量与刚体相比，连续介质运动过程中还有可能发生变形，因此连续介质的运动比刚体的运动要复杂得多。在这里，首先回顾一下刚体运动速度分解定理。刚体的运动可以分解为随质心的平动和绕质心的转动，即0δuur其中u0为刚体质心的平动速度；u为刚体内部任u(M)图2-3一点邻域的速度M0Mu(M0)dr意一点处的运动速度；ω为刚体绕质心的旋转角速度；dr为质心至某点的微元矢量。在t时刻的连续介质中取出包括点M0（x，y，z）的任意微元体积，同时取微元体积内的另一点M（x+dx，y+dy，z+dz），如图2-3所示。假设点M0的速度为u（x，y，z），当dr=（dx，dy，dz）为小量时，M点的速度可用M0的速度的泰勒展开式来表示，即0(M)(M)duuu0(M)dddxyzyzuuuux（2-11）或分量形式0(M)(M)duuu0(M)ddduuuuxyzxyz0(M)(M)dvvv0(M)dddvvvvxyzxyz0(M)(M)d0()ddd显然，du或(du，dv，dw)是M点相对于M0点的相对运动速度，它可以用矩阵的形式为dddddduuuxyzuxvvvvyxyzwz（2-12）上式中的方形矩阵可分解为110221102211022uvuwuuuyxzxxyzvvvvuvwxyzxyzy112211221122uuvuwxyxzxuvvvwyxyzyuwvwwzxzyz=R＋D（2-13）上式中第一个矩阵R是反对称的，第二个矩阵D是对称的，这两个矩阵在流体力学中也称为二阶张量，下面就来具体分析这两个张量的物理意义。反对称矩阵R中的九个分量中只有三个独立分量，即112wvyz，212uwzx，312vuxy（2-14）这三个分量恰好就是流体微团旋转角速度矢量的三个分量，因此，将R称为旋转张量。同时ω=ω1i+ω2j+ω3k也就是速度矢量的旋度的一半，即12u（2-15）对称矩阵D中的九个分量中只有六个独立分量，xxuD=x，xxuD=x，xxuD=x，12xyyxuvD=D=yx12yzzyvwD=D=zy，12xzzxuwD=D=zx（2-16）Dii(i=x，y，z)恰好是流体力学中研究过的流体微团在三个坐标轴方向上的线应变速率，而Dij(i=x，y，z；j=x，y，z且i≠j)也恰好是其角变形速度。因此，流体力学中将张量D称为应变速率张量，或简称为应变张量，将R＋D称为速度梯度张量，用gradu表示。在非牛顿流体力学中，也常用一阶Rivlin-Ericksen张量A来表述应变速率的大小，它与D的关系为A=2D（2-17）一阶Rivlin-Ericksen张量A的分量直角坐标系中的表达式可由式（2-16和17）得出，其在柱坐标系和球坐标系中的表达式的推导比较复杂，其结果见表2-1。表2-1一阶Rivlin-Ericksen张量A的分量在柱坐标系和球坐标系中的表达式柱坐标系(r，θ，z)柱坐标系(r，θ，φ)2rruAr2θθvAurθ2zzwAzrθuvvArrr2rruAr2θθvArurθ2sincossinwAuvr12rθurvAvrr由矩阵分析可知，对称张量A有三个不变量，即ItriiAA=1122211IItr22ijijAAA（2-18）IIIdetijAA其中最常用的是第二不变量，用来描述流场的剪切速率的大小，在简单剪切流动中常用&来表示。。例2-1试分析下板不动上板做匀速运动的两个无限大平板间的简单剪切流动uky，0v，0w式中k为常数，且k=u0/b。解：由速度分布和式(2-14、16和17)可得0/20/200000kkR00200000kDkA再由式(2-18)可得Itr0iixxyyzzAAAAA=1122212220000000111IItrtr0000tr00222000000000kkkukkkkbA所以II=k=u0/b。00IIIdet000000kkArzuwAzrθzvwAzrθ1sinsinsinruwArwrr1sin2cossinvwAwrbu=kyu0xy图2-4简单剪切流动流动的旋转张量R的分量不全为零说明流动是有旋流动，I=trA=0表明流动为不可压缩流动，II=