高二下期末数学试卷(理科)

第1页（共18页）高二下期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据(ix，)(1iyi，2，，9)，其回归方程为110yxa，且12910xxx，12919yyy，则实数a的值是()A．2B．2C．1D．12．某住宅小区有1500名户，各户每月的用电量近似服从正态分布(200,100)N，则月用电量在220度以上的户数估计约为()（参考数据：若随机变量X服从正态分布2(,)N，则()0.6826PX„，(22)0.9544PX„，(33)0.9974)PX„A．17B．23C．34D．463．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，则甲、乙不相邻的排法种数为()A．6B．12C．18D．244．函数22yxlnx的单调递减区间是()A．(，1](0，1]B．[1，0)(0，1]C．[1，)D．(0，1]5．给出下列三个命题①离散型随机变量~(4,0.1)XB，则()0.36DX；②将一组数据中的每个数据都减去同一个非零数后，则平均值与方差均没有变化；③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38，49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60．其中正确的命题的个数为()A．0B．1C．2D．36．已知函数()(32)xfxxe，()fx为()fx的导函数，则(0)f的值为()A．3B．4C．5D．67．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概第2页（共18页）率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648B．0.432C．0.36D．0.3128．若2016220160122016(13)()xaaxaxaxxR，则20161222016333aaa的值为()A．1B．2C．2D．09．若函数()fx为定义在R上的偶函数，其导函数为()fx，对任意实数x满足()()xfxfx，则不等式()(12)(12)xfxxfx的解集是()A．1(0,)3B．1(3，)C．1(,)3D．(，11)(33，)10．如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为()A．60B．480C．420D．70二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．（把正确答案填在答题卡的相应位置）11．在口袋中有不同编号的5个白球和4个黑球，如果不放回地依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取得白球的概率是．12．已知随机变量X，Y满足8XY，且~(10,0.6)XB，则()EY．13．函数2()xfxxe在区间(,1)aa上存在极值点，则实数a的取值范围为．14．设20(sincos)axxdx，则二项式61()axx展开式中含1x项的系数是．15．设函数()yfx在区间(,)ab上的导函数为()fx，()fx在区间(,)ab上的导函数为()fx．若在(,)ab上，()0fx恒成立，则称函数()fx在(,)ab上为“凸函数“．现给出如下命题：①区间(,)ab上的凸函数()fx在其图象上任意一点(x，())fx处的切线的斜率随x的增大而减小；第3页（共18页）②函数()fxlnx在任意正实数区间(,)ab上都是凸函数；③若函数()fx，()gx都是区间(,)ab上的凸函数，则函数()()yfxgx也是区间(,)ab上的凸函数；④若在区间(,)ab上()0fx恒成立，则对任意1x，2(xa，12)()bxx都有1212()()()22xxfxfxf，其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6个小题共75分，解答时要求写出必要的文字、说明证明过程或推理步骤．16．（12分）已知二项式41()2nxx的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512，求二项式41()2nxx的展开式的所有有理项．17．（12分）某单位有男职工600名，女职工400人，在单位想了解本单位职工的运动状态，根据性别采取分层抽样的方法从全体职工中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该单位职工平均每天运动的时间范围是[0，2]．若规定平均每天运动的时间不少于1小时的为“运动达人”，低于1小时的为“非运动达人”．根据调查的数据，按性别与是否为运动达人进行统计，得到如下22列联表．运动时间性别运动达人非运动达人合计男36女26合计100（Ⅰ）请根据题目信息，将22列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与是否为运动达人有关；（Ⅱ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该单位的3名男职工，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望()EX及方差()DX．附表及公式：20()PKk…0.150.100.050.0250.0100k2.0722.7063.8415.0246.635第4页（共18页）22()()()()()nadbcKabcdacbd，其中nabcd．18．（12分）已知函数321()2fxaxxc的图象过点(0,1)，且在点(2，f（2）)处的切线方程是6370xy．（1）求函数()fx的极大值和极小值；（2）求函数()fx的图象与直线1y所围成的封闭图形的面积．19．（12分）在纸箱内装有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从箱中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25，从箱中摸出2个球，至少得到1个白球的概率是815．（1）求箱中各色球的个数；（2）从箱中任意摸出3个球，记白球的个数为，求随机变量的分布列及数学期望．20．（13分）已知函数22()3xafxx在区间[1，1]上是增函数．（1）求实数a的取值范围的组成集合A．（2）关于x的方程1()fxx的两个非零实根为1x，2x．试问是否存在实数m，使得不等式2122||mtmxx…对任意aA及[1t，1]恒成立，若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（14分）已知函数()fxlnxx．（1）求函数()fx在(1，f（1）)处的切线方程；（2）设0a，若对于任意的1x，2(0,)x都有212|()|alnxfxx成立，求实数a的取值范围；（3）设0nm，试比较()[()]fmmfnnmn与222mmn的大小，并说明理由．第5页（共18页）2015-2016学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据(ix，)(1iyi，2，，9)，其回归方程为110yxa，且12910xxx，12919yyy，则实数a的值是()A．2B．2C．1D．1【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：12910xxx，12919yyy，109x，199y这组数据的样本中心点是10(9，19)9，把样本中心点代入回归直线方程110yxa得：2a，故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．属于基础题．2．某住宅小区有1500名户，各户每月的用电量近似服从正态分布(200,100)N，则月用电量在220度以上的户数估计约为()（参考数据：若随机变量X服从正态分布2(,)N，则()0.6826PX„，(22)0.9544PX„，(33)0.9974)PX„A．17B．23C．34D．46【分析】根据正态分布，求出200，10，在区间(180,220)的概率为0.9544，由此可求用电量在220度以上的户数．第6页（共18页）【解答】解：由题意，200，10，在区间(180,220)的概率为0.9544，用电量在220度以上的概率为0.0228，用电量在220度以上的户数估计约为15000.022834，故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查学生的计算能力，属于基础题．3．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，则甲、乙不相邻的排法种数为()A．6B．12C．18D．24【分析】先排列丙、丁2个人，再把甲、乙插入到丙、丁二人形成的3个空中，再根据分步计数原理求得结果．【解答】解：先排列丙、丁2个人，方法有_222A种，再把甲、乙插入到丙、丁二人形成的3个空中，方法有236A种，再根据分步计数原理求得甲乙两人不相邻的排法种数是2612种，故选：B．【点评】本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，注意不相邻问题用插空法，属于中档题．4．函数22yxlnx的单调递减区间是()A．(，1](0，1]B．[1，0)(0，1]C．[1，)D．(0，1]【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求．【解答】解：22yxlnx的定义域是(0,)，22(1)(1)2xxyxxx，令0y„，解得：01x„，故选：D．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．5．给出下列三个命题第7页（共18页）①离散型随机变量~(4,0.1)XB，则()0.36DX；②将一组数据中的每个数据都减去同一个非零数后，则平均值与方差均没有变化；③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38，49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60．其中正确的命题的个数为()A．0B．1C．2D．3【分析】①根据二项分布的方差公式进行计算即可．②根据平均值和方差的定义和性质进行判断．③利用系统抽样的定义进行求解判断．【解答】解：①~(4,0.1)XB，()40.10.90.36DX；故①正确，②将一组数据中的每个数据都减去同一个非零数后，则平均值发生变化，但方差均没有变化，故②错误，③样本间隔为16511，则对应的人数可能为11555人，故③错误．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大．6．已知函数()(32)xfxxe，()fx为()fx的导函数，则(0)f的值为()A．3B．4C．5D．6【分析】先求导，再带值计算．【解答】解：()(32)xfxxe，则()(32)(32)()(35)xxxfxxexexe，则0(0)(305)5fe，故选：C．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．7．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．第8页（共18页）【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足(3,0.6)XB∽，该同学通过测试的概率为223333(0.6)(10.6)(0.6)0.648CC．故选：A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法