椭圆的几何性质及综合问题

1椭圆的几何性质一、概念及性质1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a,b,c的关系”；2.椭圆的通经：3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式：4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：caPFca1.5.直线与椭圆的位置关系：6.椭圆的中点弦问题：【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据椭圆的性质求参数的值或范围；(2)由性质写椭圆的标准方程；(3)求离心率的值或范围．题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围.【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点)2,0(),0,3(QP；（2）长轴长等于20，离心率等于53.【典例2】求椭圆400251622yx的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.【典例3】已知A，P，Q为椭圆C：)0(12222babyax上三点，若直线PQ过原点，且直线AP，AQ的斜率之积为21，则椭圆C的离心率为（）A.22B.21C.42D.41【练习】(1)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A．(－3，0)B．(－4，0)C．(－10，0)D．(－5，0)（2）椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为()A．－21B．21C．－1925或21D．1925或21(3)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．【典例4】已知F1，F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，且215PFPF，则该椭圆的离心率的取值范围是练习：如图，把椭圆1162522yx的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分与P1,P2,…,P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则721PFPFPF=2【典例5】若“过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点F1，F2的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆的内部”，求离心率的取值范围．【典例6】已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________．【方法归纳】：1.在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”.2.求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化”，一定要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数a,b,c之间的关系，以减少运算量．3.在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化．4.求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围；有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围．5.在探寻a,b,c的关系时，若能充分考虑平面几何的性质，则可使问题简化，如典例5.【本节练习】1．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是()A．x216＋y27＝1B．x216＋y27＝1或x27＋y216＝1C．x216＋y225＝1D．x216＋y225＝1或x225＋y216＝12.设e是椭圆x24＋y2k＝1的离心率，且e∈(12，1)，则实数k的取值范围是()A．(0，3)B．(3，163)C．(0，3)∪(163，＋∞)D．(0，2)3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1，B2，焦点为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则这个椭圆的离心率e等于()A．22B．12C．32D．334.如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF→·PA→的最大值为________．35.已知椭圆C：)0(12222babyax的左、右焦点为21,FF，离心率为33，过F2的直线l交C于A,B两点，若△AF1B的周长为34，则C的方程为（）A.12322yxB.1322yxC.181222yxD.141222yx6.已知F1、F2是椭圆x2100＋y264＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为________．7.设21,FF是椭圆E：)0(12222babyax的左、右焦点，P为直线23ax上一点，12PFF是底角为300的等腰三角形，则E的离心率为（）A.21B.32C.43D.548.过椭圆)0(12222babyax的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若02160PFF，则椭圆的离心率为（）A.25B.33C.21D.319.已知椭圆)0(12222babyax的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BABF，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为10.已知1F为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当AFPF11，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为11．已知方程x22－k＋y22k－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A．(12，2)B．(1，＋∞)C．(1，2)D．(12，1)412．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为()A．23B．26C．42D．4313．一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A．x28＋y26＝1B．x216＋y26＝1C．x28＋y24＝1D．x216＋y24＝114.如图，已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点恰好是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F，且这两条曲线交点的连线过点F，则该椭圆的离心率为________．15.已知抛物线42xy与椭圆)0(118222ayax在第一象限相交于A点，F为抛物线的焦点，AB⊥y轴于B点，当∠BAF=300时，a=16.设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．17．椭圆x236＋y29＝1上有两个动点P、Q，E(3，0)，EP⊥EQ，则EP→·QP→的最小值为()A．6B．3－3C．9D．12－6318．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．19．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是________．20.已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为()A．4B．3C．2D．114.椭圆01:2222babyax的左右焦点分别为21,FF,焦距为c2，若直线cxy3与椭圆的一个交点满足12212FMFFMF,则该椭圆的离心率等于_____设F1(－c,0),F2(c,0)是椭圆12222byax(ab0)的两个焦点，P是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1，则该椭圆的离心率为5（A）316（B）23（C）22（D）32若椭圆22221xyab的焦点在x轴上，过点（1，12）作圆22+=1xy的切线，切点分别为A,B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是21.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F1，左焦点为F2，若椭圆上存在一点P，满足线段PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为()A．53B．23C．22D．5922.已知,,APQ为椭圆:C22221(0)xyabab上三点，若直线PQ过原点，且直线,APAQ的斜率之积为12，则椭圆C的离心率等于()A．22B．12C．24D．14题型二：直线与椭圆的位置关系的判定.【典例1】当m为何值时，直线mxyl:与椭圆14416922yx相切、相交、相离？【典例2】已知椭圆192522yx，直线04054:yxl，椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？反馈：（2012福建）如图，椭圆E：)0(12222babyax的左右焦点分别为F1、F2，离心率21e，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线l：mkxy与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4交于Q，试探究：在坐标平面内，是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.6【方法归纳】：直线与椭圆位置关系判断的步骤：①联立直线方程与椭圆方程；②消元得出关于x(或y)的一元二次方程；③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．注：对比直线与圆的位置关系的判断，它们之间有何联系与区别？题型三：直线与椭圆相交（及中点弦）问题该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题，其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.【典例1】已知斜率为1的直线l过椭圆1422yx的右焦点，交椭圆于A,B两点，求弦AB的长及1ABF的周长、面积.【典例2】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左，右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－12x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB||CD|＝534，求直线l的方程．【典例3】已知一直线与椭圆369422yx相交于A,B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程.变式：过点(1,1)M作斜率为12的直线与椭圆C：22221(0)xyabab相交于,AB，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为【典例4】（2015新课标文）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为22,点2,2在C上.（I）求C的方程；7（II）直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.【典例5】已知点A（0，-2），椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于,PQ两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.【典例6】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：mkxy与椭圆C相交于A，B两点（A，B均不在左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.【方法归纳】：（1）解决直线与椭圆相交问题的原则有两个：一是数形结合；二是一条主线：“斜率、方程组、判别式、根与系数的关系”.利用根与系数的关系整体代换，以减少运算量.（2）如果题设中没有对直线的斜率的限定，一定要讨论斜率是否存在，以免漏解；这里又有两个问题需要注意：①若已知直线过y轴上的定点P(0,b)，可将直线设为斜截式，即纵截距式，即y=kx+b，但要讨论斜率是否存在；②若