第二章-流动分析基础

B2流动分析基础B2.1描述流体运动的数学方法拉格朗日法欧拉法当地法B2流动分析基础描述方法随体法拉格朗日法欧拉法质点轨迹：)(a,b,c,trr参数分布：B=B（x,y,z,t）1.分类2.比较分别描述有限质点的轨迹同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式简单不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性拉格朗日观点是重要的流体力学最常用的解析方法B2流动分析基础[例B2.1.2]由速度分布求质点轨迹(2-1)求：在t=0时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。对某时刻t位于坐标点上(x,y)的质点解：求解一阶常微分方程（a）可得已知:已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为tyvtxu(a)tytyvtxtxudddd111222eede(1)ee1eede(1)ee1ttttttttttxcttctctycttctct(b)c1，c2为积分常数，由t=0时刻流体质点位于可确定,xayb121,1cacb(1)e1(1)e1ttxatybt讨论：本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出指定流体质点在不同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。[例B2.1.2]由速度分布求质点轨迹(2-2)代入(b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为B2.2速度场•速度场是最基本的场v=v(x,y,z,t)•可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上的速度分布二维速度剖面u＝u(x,y)速度分量：(,,,)(,,,)(,,,)uuxyztvvxyztwwxyzt(,,,)(,,,)(,,,)uuxyztvvxyztwwxyzt三维速度廓线B2.2速度场B2.2.1流量与平均速度d=()d=cosdQAvAvn单位时间流过面积元dA的体积元，即流量微分为90270cos0d0Q9090cos0d0QB2.2.1流量与平均速度(2-1)B2.2.1流量与平均速度Q、指净流出流量m封闭曲面时流量体积流量()dAmAvn平均速度体积流量不可压缩流体质量流量质量流量不可压缩流体()dAQAvnQmAQVVAQmVAB2.2.1流量与平均速度(2-2)[例B2.2.1]直圆管粘性定常流动：流量与平均速度(2-1)求：两种速度分布的（1）流量Q的表达式；（2）截面上平均速度V。解：（1）流量计算时dA=2πrdr，抛物线分布的流量为已知:粘性流体在圆管（半径R）内作定常流动。设圆截面上有两种速度分布，一种是抛物线分布,另一种是1/7次幂分布：2m111Rruu7/12m21Rruu上式中um1、um2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。AQ(1RRrRrrurrRru02301m221md2d21v·n)dA=21m02421m5.0422RuRrruR1/7次幂分布的流量为AQ(2RrrRru07/12md2)1(v·n)dARRrRrRu07/87/1522m7/8)/1(7/15/1222m22m2m28167.012098815772RuRuuR（2）抛物线分布和1/7次幂分布的平均速度分别为1m21115.0uRQV2m22228167.0uRQV讨论：抛物线速度分布的截面平均速度为最大速度的一半，而1/7次幂分布的截面平均速度为最大速度的0.8167倍，这是后者的速度廓线中部更平坦，速度分布更均匀的缘故。[例B2.2.1]直圆管粘性定常流动：流量与平均速度(2-2)B2.2.2一维，二维与三维流动1.流动维数的确定：三维流动:速度场必须表示为三个空间坐标的函数v=v(x,y,z)二维流动:速度场简化为二个空间坐标的函数v=v(x,y)或v=v(r,z)一维流动:速度场可表示为一个空间坐标的函数v=v(x)或v=v(s)2.常用的流动简化形式：(1)二维流动：平面流动，轴对称流动(2)一维流动：质点沿曲线的流动v=v(s)流体沿管道的平均速度V=V(s)B2.2.2一维，二维与三维流动(2-1)用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。但对截面上动能和动量计算造成偏差，引入动能修正因子α和动量修正因子β，分别定义为2211()()22AudmαVmAudmβVm表B2.2.1圆管粘性一维定常流动修正因子3.直圆管一维流动修正因子m/Vu速度分布类型平均速度/中心速度动能修正因子动量修正因子β抛物线分布0.52.01.3331/7指数分布0.81671.0581.020B2.2.2一维，二维与三维流动(2-2)[例B2.2.2]直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子(3-1)(1)按单位质量流体的动能计算，动能修正因子定义为解：已知:粘性流体在直圆管（半径R）内作定常流动。圆截面上有两种速度分布，一种是抛物线分布,另一种是1/7次幂分布：2m111Rruu上式中um1，um2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。7/12m21Rruu求：（1）关于平均速度的动能修正因子；（2）关于平均速度的动量修正因子β。mVmuA)21(d)21(22上式中V为平均速度，设ρ=常数,截面积A=πR2，微元圆环面积。rrAd2d，rruAurQrmd2d)(d)(drrVuRAVuAARd)(2d)(10323对抛物线分布RRRRrrrRrRrrVuR0004232231121212d116d2对1/7次幂分布05838.1d1981202d207/332032222rrRrRrrVuRRR（2）按单位质量流体的动量计算，动量修正因子β定义为mVmuAdVAQm由质量流量定义，[例B2.2.2]直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子(3-2)可得RArrVuRAVuA0222d2d1抛物线分布333.134d18d20222021121RRrrRrRrrVuR1/7次幂分布020.14950d1)98120(2d207/222022222RRrrRrRrrVuR讨论：将例B2.2.1和本例的结果列表说明1/7次幂分布比较接近平均速度廓线，用一维流动近似计算动能和动量时，可取α=β=1，即不必修正。表B2.2.1圆管粘性一维定常流动修正因子m/uV动能修正因子1.0201.0580.81671/7次幂分布1.3332.00.5抛物线分布动量修正因子β速度分布类型平均速度/中心速度[例B2.2.2]直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子(3-3)B2.2.3定常与不定常流动a.定常流动b.准定常流动c.周期性谐波脉动流d.周期性非谐波脉动流（生理波）e.非周期性脉动流(衰减波）f.随机流动（湍流）•不定常流与定常流的转换B2.2.3定常与不定常流动B2.3流体运动的几何描述迹线流线定义拉格朗日法()a,b,c,trr欧拉法微分方程ddddddxutyvtzwt（t为自变量，x,y,z为t的函数）质点的运动轨迹切线与速度方向一致的假想曲线B2.3流体运动的几何描述(x,y,z为自变量，t为参数）ddd(,,,)(,,,)(,,,)xyzuxyztvxyztwxyzt[例B2.3.2A]不定常流场的迹线与流线(4-1)求：（1）质点A的迹线方程；解：此流场属无周期性的不定常流场。1dd1ddtyttx由上两式分别积分可得21221ctycttx已知：设速度场为u=t+1,v=1，t=0时刻流体质点A位于原点。(1)由欧拉迹线方程式，本例迹线方程组为（2）t=0时刻过原点的流线方程；（3）t=1时刻质点A的运动方向。T=0时质点A位于x=y=0，得c1=c2=0。质点A的迹线方程为消去参数t可得21)1(212122yyyx上式表明质点A的迹线是一条以（－1/2，－1）为顶点，且通过原点的抛物线（见图）。（2）由流线微分方程式，1d1dytx积分可得tyttx221(a)cytx1(b)[例B2.3.2A]不定常流场的迹线与流线(4-2)在t=0时刻，流线通过原点x=y=0，可得C=0，相应的流线方程为3/2111C可得C=－1/4。（c）x=y这是过原点的一、三象限角平分线，与质点A的迹线在原点相切（见图）。(3)为确定t=1时刻质点A的运动方向，需求此时刻过质点A所在位置的流线方程。由迹线参数式方程(a)可确定，t=1时刻质点A位于x=3/2，y=1位置，代入流线方程(b)[例B2.3.2A]不定常流场的迹线与流线(4-3)讨论：以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固定点的流线可以不同（见b式），通过某流体质点所在位置的流线也可以不同（见c和d式）。t=1时刻过流体质点A所在位置的流线方程为x=2y－1/2(d)上式是一条与流体质点A的迹线相切于（3/2，1）点的斜直线，运动方向为沿该直线朝x,y值增大方向。[例B2.3.2A]不定常流场的迹线与流线(4-4)B2.3.3－4脉线与流体线流体线又称染色线、烟线或条纹线脉线定义相继通过某空间点的质点连线时间线某时刻标记的一串相连的质点连线B2.3.3－4脉线与流体线[例B2.3.3]不定常流场的迹线与脉线(3-1)解：此流场是周期性变化的不定常流动。设t=0时刻起，每隔1s从坐标原点出发的质点依次编号为a,b,c,d,e,f，每过6s重复循环一次。将每个质点每隔1s的位置数据列表如下，每行的数据构成每个质点的迹线，每栏的数据构成每一时刻的脉线。已知：设速度场为（0≤t＜3s）t≥6s重复循环。0m/s1vum/s10vu（3s≤t＜6s）求：试画出（1）0-6s内每隔1s从坐标原点出发的迹线；（2）7-12s内每隔1s的时刻从坐标原点发出的脉线。t(s)0123456789101112a●(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)…b○(0,0)(1,0)(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)…c▲(0,0)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)…d△(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,3)(2,3)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)…e■(0,0)(0,1)(0,2)(1,2)(2,2)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)…f□(0,0)(0,1)(1,1)(2,1)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)…[例B2.3.3]不定常流场的迹线与脉线(3-2)在不定常流场中从某点发出的脉线形状在不同时刻可以不同。本例中在7-12s内的每一瞬时的脉线均不相同，但在下一个6秒内重复出现。[例B2.3.3]不定常流场的迹线与脉线(3-3)(a)中分别为质点a,b,c,d,e,f的迹线(0-6s)，随时间增长不断延伸；(b)为从原点每隔1s时刻(7-12s)流出的不同质点在每一瞬时连成的