北师大版七年级数学上册前三章知识点归纳

1北师大版数学七年级上册（一至三章）知识点总结：第一章丰富的图形世界第一节：生活中的例题图形知识点1：常见几何体分类：（1）柱体：圆柱和棱柱（直棱柱和斜棱柱）（2）椎体：圆锥和棱锥（3）球体知识点2：图形的构成元素：点，线，面。（1）点：任何几何图形都是由无数个点构成的。（2）线：有直线和曲线之分。（3）面：有平面和曲面之分。三个元素之间关系：点→动成线→动成面→动成体（立体图形）任何一个几何体都由点、线、面构成，点无大小，线有曲直而无粗细，平面是无限延伸的，面有平面和曲面，面面相交得线，线线相交得点。知识点3：圆柱于棱柱，圆锥于棱锥相同点和不同点（1）圆柱和棱柱相同点：都有两个底面。且各自的地面形状，大小完全相同。不同点：圆柱的底面是圆，棱柱地面是多边形；圆柱的侧面是一个曲面，棱柱的侧面是由几个平面围成，且每个平面都是长方形。（2）圆锥与棱锥相同点：都有一个地面，一个顶点。不同点：圆锥的地面是圆，棱锥的地面是多边形；圆锥的侧面是一个曲面，棱锥的侧面是由几个平面围成的，且每个平面都是三角形。知识点4：认识旋转体旋转体是由平面图形旋转得到，列如：长方形纸板的一边所在直线旋转一周就可以得到一个圆柱。第二节展开与折叠知识点1：棱柱的有关概念及特点1.概念：（1）棱柱中，任何相邻的两个面的交线都叫做棱，其中相邻的两个侧面的交线叫做侧棱。（2）根据棱柱底面图形边数将棱柱分类。2.特点：（1）棱柱中，所有侧棱的长都相等。（2）棱柱的上，下底面是相同的多边形。（3）棱柱的侧面都是长方形。3.棱柱的顶点数，棱数，面数之间关系顶点数+面数-棱数=2知识点2：展开与折叠（1）棱柱的表面展开图是由两个形状相同的多边形和一些长方形组成，沿棱柱表面不同的棱展开，可得到不同组合方式的平面展开图。（2）圆锥的表面展开图是一个圆和一个扇形。（3）棱锥的表面展开图有一个多边形，其余都是三角形。2知识点3：正方形的展开与折叠正方形是特殊的四棱柱，其展开图共有11鈡形式。第三节截一个几何体知识点1：截面的概念及形状用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面，截面的形状是平面图形知识点2：常见几何体的截面第四节从三个方向看物体的形状三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。主视图：从正面看到的图，叫做主视图。左视图：从左面看到的图，叫做左视图。俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。第二章有理数及其运算第一节有理数知识点1引入负数的实际意义：用正负数表示具有相反意义的量时，那种意义的量为正，那种为负是相对的知识点2正数和负数的概念：比0大的数叫正数，比0小的数是负数，但0既不是正数也不是负数。知识点3有理数的概念及其分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数0正有理数负整数正分数有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数一四一型6种二三一型3种二二二型1种三三型1种3总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数第二节数轴知识点1数轴：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线。⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可。⑶同一数轴上的单位长度要统一。⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。知识点2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）知识点3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。知识点4.相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。注意：⑴相反数是成对出现的。⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负。⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。知识点5.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个；⑵0的相反数是0；⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0知识点6.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。知识点7.相反数的求法⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)知识点8.相反数的表示方法⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。当a0时，-a0（正数的相反数是负数）当a0时，-a0（负数的相反数是正数）4当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）第三节绝对值知识点⒈绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。知识点2.绝对值的代数定义⑴一个正数的绝对值是它本身。⑵一个负数的绝对值是它的相反数。⑶0的绝对值是0.可用字母表示为：①如果a0，那么|a|=a；②如果a0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。可归纳为①：a≥0，═|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）②a≤0，═|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）知识点3.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0═|a|=0；⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0），则x=±a；⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）知识点4.有理数大小的比较⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。知识点5.绝对值的化简①当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=-a知识点6.已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。第三节有理数的加减法。知识点1有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；⑶互为相反数的两数相加，和为零；⑷一个数与零相加，仍得这个数。知识点2.有理数加法的运算律⑴加法交换律：a+b=b+a⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)5在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。知识点3.加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：⑴当b0时，a+ba⑵当b0时，a+ba⑶当b=0时，a+b=a第五节有理数减法知识点1.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。知识点2.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义读作“负8减7减6加5”知识点3.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23)（把符号相同的加数相结合）=-49+41（运用加法法则一进行运算）=-8（运用加法法则二进行运算）Ⅱ.把和为整数的加数相结合（凑整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8（运用加法法则进行运算）=7.8-10（把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2（得出结论）6Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）-53-21+43-52+21-87原式=(-53-52)+(-21+21)+(+43-87)=-1+0-81=-181Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）(+0.125)-(-343)+(-381)-(-1032)-(+1.25)原式=(+81)+(+343)+(-381)+(+1032)+(-141)=81+343-381+1032-141=(343-141)+(81-381)+1032=221-3+1032=-3+1361=1061Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-351+10116-12221+4157原式=(-3+10-12+4)+(-51+157)+(116-221)=-1+154+2211=-1+308+3015-307第六节有理数的乘法知识点1.有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同0相乘，都得0；法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；7法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.知识点2.倒数乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·a1=1（a≠0），就是说a和a1互为倒数，即a是a1的倒数，a1是a的倒数。注意：①0没有倒数；②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。知识点3.有理数的乘法运算律⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律：一般地，一个