抛物线题型分类

抛物线题型一抛物线的定义及其应用【典型例题】1.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为-3，那么|PF|＝()A．43B．8C．83D．162.已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|4时，|PA|＋|PM|的最小值是________．3.已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则P点到抛物线焦点F的距离为()A．2B．3C.3D.2【提分秘籍】1．定点F不能在定直线l上，因为若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l的直线而非抛物线．2．抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．3.利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上．题型二抛物线的标准方程与几何性质【典型例题】1.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．482.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±22xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±42x3.如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x4.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22B.2C.223D．22【提分秘籍】1.抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的弦，若A(x1,y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x242p＝，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2sin2p(α为弦AB的倾斜角)．(3)pFBFA2||1||1(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．2.求抛物线的标准方程的方法及注意事项(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p值即可；(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．题型三直线与抛物线的位置关系【典型例题】1.如图，在直角坐标系xOy中，点P(1,21)到抛物线C：y2＝2px(p0)的准线的距离为45,点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．(1)求p，t的值；(2)求△ABP面积的最大值．2.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA·OB的值；(2)如果OA·OB＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．【提分秘籍】设直线方程Ax＋By＋C＝0与抛物线方程y＝2px(p0)联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋l＝0.(1)位置关系与其判别式Δ的关系：方程特征交点个数位置关系直线与抛物线m=01直线与抛物线的对称轴平行或重合，两者相交m≠0,∆02相交m≠0,∆=01相切m≠0,∆00相离(2)相交问题的求解通法：涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．注意：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．【跟踪练习】1．曲线y＝xe5＋2在点(0，3)处的切线方程为________．2．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的交点为F，则直线BF的斜率为（）A.21B.32C.43D.343．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若FP＝4FQ，则|QF|＝()A.27B．3C.25D．24．已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．(1)证明：A1B2∥A1B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求21SS的值．5．在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．6．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则ab＝________．7．已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝45|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．8．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.433B.839C.3263D.499．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程．(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．10．如图所示，曲线C由上半椭圆C1：12222bxay(ab0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为23.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．11．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线1322yx的渐近线的距离是()A.21B.23C．1D.3312．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________．13．抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线13322yx相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.14.设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4x15．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条16．若抛物线y2＝2px(p0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为()A．2B．18C．2或18D．4或1617．已知点P为抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A（27，4），则|PA|＋|PM|的最小值是()A.27B．4C.29D．518．若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x0)19．已知直线l：4x－3y＋6＝0和直线l：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l和直线l的距离之和的最小值是()A.553B．2C.511D．320．已知A、B为抛物线C：y2＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若FA＝－4FB，则直线AB的斜率为()A．±32B．±23C．±43D．±3421．已知过点P(4,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y12＋y22的最小值是________．22.如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽____________m.23.直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．24.抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．25.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p0)上相异两点，Q，P到y轴的距离的积为4且OP·OQ＝0，PQ交x轴于E.(1)求该抛物线的标准方程；(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．