新课预习讲义选修2-1第二章椭圆(2)椭圆的性质(学生版)

1新课预习讲义选修2－1：第二章椭圆（二）§2.2.2椭圆的几何性质●学习目标1.掌握椭圆的简单几何性质2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响.3.通过椭圆标准方程的求法，体会一元二次方程的根与系数的关系的应用．4.掌握椭圆的离心率的求法及其范围的确定．5.掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题.●学习重点：1.椭圆的简单几何性质．(重点)2.椭圆的方程和性质的应用及直线和椭圆的位置关系，相关的距离、弦长、中点等问题是考查的重点．3.椭圆的第二定义，椭圆的焦点弦、焦半径及其相关问题.●学习难点1.本节常与几何图形、方程、不等式、平面向量等内容结合出题．2.命题形式比较灵活，各种题型均有可能出现.，命题的形式多样化.一、自学导航●知识回顾：复习1：椭圆的定义是____________________________________________________，复习2：椭圆的标准方程是：①焦点在x轴上时，___________________，焦点在y轴上时_______________；a、b、c间的关系是_________________复习3：椭圆2211612xy上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习4：方程2215xym表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．●预习教材：第43页——第51页的内容。●自主梳理：1、椭圆的几何性质：（1）范围；（2）对称性；（3）顶点（长轴、短轴、焦距）；（4）离心率；2、椭圆的第二定义及椭圆的准线方程（教材第51页）●预习检测：1．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A.32B.34C.22D.232．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是()A.x24＋y216＝1或x216＋y24＝1B.x24＋y216＝1C.x216＋y24＝1D.x216＋y220＝13．已知点(2,3)在椭圆x2m2＋y2n2＝1上，则下列说法正确的是()A．点(－2,3)在椭圆外B．点(3,2)在椭圆上C．点(－2，－3)在椭圆内D．点(2，－3)在椭圆上24．已知点(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．5．过椭圆x25＋y24＝1的左焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求弦AB的长．●问题与困惑：二、互动探究●问题探究：（一）椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay范围axa，bybbxb，aya顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)，(0，±b)轴长短轴长＝b2，长轴长a2焦点)0,c（),0c（焦距|F1F2|＝2222bac对称性对称轴：坐标轴，对称中心：坐标原点.离心率.ace（二）椭圆的第二定义、准线方程、焦半径等1、椭圆的第二定义：若动点),(yxM与定点)0,(cF的距离和它到定直线caxl2:的距离的比是常数)10(ee，则动点M的轨迹是一个椭圆.32、椭圆的准线方程：若焦点在x轴上，则左准线是cax2；右准线是cax2；若焦点在y轴上，则下准线是cay2；上准线是cay2；3、椭圆上任意一点),00yxM（的焦半径（其中，1F为左焦点，2F为右焦点）：01exaMF，02exaMF（若焦点在y轴上，其中，1F为下焦点，2F为上焦点，则01eyaMF，02eyaMF●典例导析：题型一、椭圆的简单几何性质例1、求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率：(1)4x2＋9y2＝36；(2)m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)．[思路点拨][题后感悟]已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2，求出焦点坐标，再写出顶点坐标．变式训练：1.求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．(1)25x2＋y2＝25；(2)4x2＋9y2＝1.题型二、由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于23；(2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4)．[思路点拨]4[题后感悟](1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．(3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．变式训练：2.求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；(2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)．题型三、求椭圆的离心率例3、如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．[思路点拨]求椭圆的离心率就是要设法建立a、c的关系式，可借助△PF1F2∽△AOB来建立a、c的关系式．[题后感悟](1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意ace的代换，通过解方程求离心率．(2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识．变式训练：3.已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．5题型四、直线与椭圆的位置关系例4、若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，求m的取值范围．[思路点拨][题后感悟]判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ0.变式训练：4.对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆x24＋y2＝1的公共点个数．题型五、中点弦问题例5、已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．6[题后感悟]在处理与弦的中点有关的问题时，常采用“点差法”，即：若椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x，y)，则x21a2＋y21b2＝1①x22a2＋y22b2＝1②，①－②，得a2(y21－y22)＋b2(x21－x22)＝0，∴y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·xy.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．变式训练：5.已知椭圆x22＋y2＝1，求过点P12，12且被P平分的弦所在直线的方程．题型六、椭圆的弦长问题例6、已知斜率为1的直线l过椭圆x24＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．[思路点拨][题后感悟]（1）求弦长的公式：设直线方程y＝kx＋m，椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)．直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋kx1＋m－kx2－m2＝x1－x221＋k2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或|AB|＝y1－mk－y2－mk2＋()y1－y22＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.当k＝0时，直线平行于x轴，∴|AB|＝|x1－x2|.（2）弦长公式：]4))[(1(212212xxxxkMN适用于所有圆锥曲线.7变式训练：6.椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．题型七、椭圆第二定义、焦半径及其应用例7、已知1F、2F是椭圆13422yx的两个焦点，能否在椭圆上求一点M（M在y轴的左侧），使M到左准线的距离MQ是1MF与2MF的等比中项，若能，求出该点的坐标，若不能，请说明理由.[思路点拨]因为题目中涉及焦半径及到左准线的距离，所有考虑用椭圆的第二定义.[题后感悟]当题目种涉及焦半径、焦点弦问题时，用椭圆的第二定义常常使解题更简便.变式训练：7、已知点A（－2，3），设F为椭圆1121622yx的右焦点，M为椭圆上一动点，求MFAM2的最小值，并求出此时点M的坐标.8题型八、椭圆的综合问题例8、如图，点A是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，APAB=9.(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．[思路点拨]解答第(1)问的关键是由已知条件准确分析出|AB→|与|AP→|的关系，再由向量的数量积，得|AP→|，从而用待定系数法求出椭圆C的方程，解答第(2)问的关键是利用a2b20，构造t的不等式解出t的范围．变式训练：8、已知椭圆的长轴621AA,焦距2421FF,过左焦点1F作倾角为的直线交椭圆于M、N两点，问在什么范围内取值时，弦MN的长不小于椭圆短轴的长？9三、巩固拓展●必做：教材第49页，习题2.2A组第8、9、10题，B组第1、2、3、4题●补充作业：一、选择题(每小题5分，共20分)1．椭圆x225＋y29＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A．8,2B．5,4C．9,1D．5,12．已知F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝32，则椭圆的方程是()A.x24＋y23＝1B.x216＋y24＝1C.x216＋y212＝1D.x216＋y23＝13．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A．32B．26C．27D．424．过椭圆x225＋y29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为()A．5B．6C.9017D．7二、填空题(每小题5分，共10分)5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．6．若倾斜角为π4的直线交椭圆x24＋y2＝1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________．三、解答题(每小题10分，共20分)7．(10分)设P(x，y)是椭圆x225＋y216＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5,0)、B(5,0)，试判断kPA·kPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．108．(10分)如图，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．(1)求C1，C2的方程．(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.证明：MD⊥ME.9.（10分）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．