人教版八年级数学上册-期中复习讲义(带解析)

人教版八年级数学上册期中复习讲义（带解析）1/17定义轴对称基本知识点对称点与对称轴垂直平分线性质与判定做图形的对称轴轴对称轴对称变换用坐标表示轴对称等腰三角形性质、判定等腰三角形等边三角形性质、判定【例1】⑴如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）A．△EBD是等腰三角形，EB=EDB．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等C．折叠后得到的图形是轴对称图形D．△EBA和△EDC一定是全等三角形【解析】∵ABCD为矩形∴∠A=∠C=90°，AB=CD∵∠AEB=∠CED∴△AEB≌△CED（第四个正确）思路导航典题精练题型一：轴对称7期中复习EDCAB∴BE=DE（第一个正确）∠ABE=∠CDE（第二个不正确）∵△EBA≌△EDC，△EBD是等腰三角形∴过E作BD边的中垂线，即是图形的对称轴．（第三个正确）故选B．⑵将一个矩形纸片依次按图①、图②的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，最后将图④的纸再展开铺平，所得到的图案是（）图(4)图(3)图(2)图(1)向右对折（向上对折）D.C.B.A.【解析】A【例2】如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．作出图形并说明理由．河草地BA【解析】沿AC-CD-DB路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，∵A、E关于ON对称，∴AC=EC，同理BD=FD，FR=BR，AT=ET，∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF，AT+TR+BR=ET+TR+FR，∵ET+TR+FR＞EF，∴AC+CD+DB＜AT+TR+BR，即沿AC-CD-DB路线走是最短的路线．人教版八年级数学上册期中复习讲义（带解析）3/17（1）AB草地河CDEFMNOMECTRODF（2）河草地BA[来源:]SSSSASASAAASHL对应边相等全等三角形性质全等三角形对应角相等全等三角形判定：，，，，性质、判定角平分线有关角平分线辅助线【例3】如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．请你确定△ADG的形状，并证明你的结论．BACDEFG【解析】连接DG，则△ADG是等腰三角形．∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，∴∠AFC=∠AEB=90°∴∠ACG=∠DBA又∵BD=CA，AB=GC，∴△ABD≌△GCA；典题精练思路导航题型二：全等三角形GFEDCAB∴AG=AD，∴△ADG是等腰三角形．【例4】△ABC中，∠CAB=∠CBA=50°，O为△ABC内一点，∠OAB=10°，∠OBC=20°，求∠OCA的度数．COBA【解析】作CD⊥AB于D，延长BO交CD于P，连接PA，∵∠CAB=∠CBA=50°，∴AC=BC，∴AD=BD，∵∠CAB=∠CBA=50°，∴∠ACB=80°，∵∠ABC=∠ACB=50°，∠OBC=20°，∴∠CBP=∠OBC=20°=∠CAP，∠PAO=∠CAB-∠CAP-∠OAB=50°-20°-10°=20°=∠CAP，∠POA=∠OBA+∠OAB=10°+50°-20°=40°=∠ACD，∵在△CAP和△OAP中，∠ACP＝∠AOP，∠CAP＝∠OAP∴△CAP≌△OAP，∴AC=OA，∴∠ACO=∠AOC，∴∠OCA=12（180°-∠CAO）=12[180°-（∠CAB-∠OAB）]=12（180°-40°）=70°．【例5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．⑴如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；⑵点M是线段CD上的一点（不与点C、D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；⑶如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关人教版八年级数学上册期中复习讲义（带解析）5/17系，并说明理由．GN图3图2图1AEBCDAEBCDDCBEA【解析】⑴在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，BC=12AB．∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA=∠A=30°．∴DA=DB．∵DE⊥AB于点E．∴AE=BE=12AB．∴BC=BE．∴△EBC是等边三角形；⑵结论：AD=DG+DM．证明：如图2所示：延长ED使得DN=DM，连接MN，∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，又∵DM=DN，∴△NDM是等边三角形，∴MN=DM，在△NGM和△DBM中，∵∠N＝∠MDB，MN＝DM，∠NMC＝∠DMB∴△NGM≌△DBM，∴BD=NG=DG+DM，∴AD=DG+DM．⑶结论：AD=DG-DN．证明：延长BD至H，使得DH=DN．由⑴得DA=DB，∠A=30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2=∠3=60°．∴∠4=∠5=60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH=ND，∠H=∠6=60°．∴∠H=∠2．∵∠BNG=60°，∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．即∠DNG=∠HNB．在△DNG和△HNB中，∵DN＝HN，∠DNG＝∠HNB，∠H＝∠2∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG=HB．∵HB=HD+DB=ND+AD，∴DG=ND+AD．∴AD=DG-ND．【例6】已知四个实数a、b、c、d，且a≠b，c≠d．满足：a2+ac=4，b2+bc=4，c2+ac=8，d2+ad=8．⑴求a+c的值；⑵分别求a、b、c、d的值．【解析】⑴由（a2+ac）+（c2+ac）=4+8=12，得（a+c）2=a2+c2+2ac=12，∴a+c=23⑵由（a2+ac）-（b2+bc）=4-4=0，（c2+ac）-（d2+ad）=8-8=0，得（a-b）（a+b+c）=0，（c-d）（a+c+d）=0，∵a≠b，c≠d，∴a+b+c=0，a+c+d=0，∴b=d=-（a+c），又（a2+ac）-（c2+ac）=4-8=-4，得（a-c）（a+c）=-4．典题精练题型三：因式分解人教版八年级数学上册期中复习讲义（带解析）7/17当a+c=23时，a-c=233，解得：a=233，c=433，b=d=23；当a+c=23时，a-c=233，解得：a=233，c=433，b=d=23．【例7】设a1=3212，a2=5232，…，an=222121nn（n为大于0的自然数）．⑴探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；⑵若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）．【解析】⑴∵an=（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，又∵n为非零的自然数，∴an是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数⑵这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数．训练1.阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现⑴△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（回答“是”或“不是”）．⑵小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升⑶小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．图3ABCA1B1B2CDBA图2图1C…Bn+1A3A2A1BnB2B1BA【解析】⑴△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C，∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．故答案是：是；思维拓展训练(选讲)人教版八年级数学上册期中复习讲义（带解析）9/17⑵∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；⑶由⑵知设∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．训练2.一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：[来源:学#科#网]如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．备用图2431COBADCEOPAB⑴理清思路，完成解答⑵本题证明的思路可用下列框图表示：已知1=C=45°PBD=23=PBD-14=2-CBOAC，DEAC(已知)3=4BOP=PEDPB=PD(已知)要证△BPO≌△PDE根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．⑵特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．【解析】⑴证明：∵PB=PD，∴∠2=∠PBD，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠C=45°，∵BO⊥AC，∴∠1=45°，∴∠1=∠C=45°，∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，∴∠3=∠4，∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°，在△BPO和△PDE中∵∠3＝∠4，∠BOP＝∠PED，BP＝PD∴△BPO≌△PDE（AAS）；⑵证