信号与系统中的工程数学问题

信号与系统中的工程数学问题信息与电气工程学院张同军2009.2.20概述信号与系统课程的核心，是教会学生如何利用数学工具，解决实际工程问题课程必然会遇到很多的数学概念，需要很多的工程数学知识积分变换，微积分，微分方程，复变函数等对于电子电气专业的学生来说，几乎没有其他课程象这门课程一样，与如此众多的数学有如此紧密的联系这也是学生在课程学习过程中会觉得疑惑的地方但是我们在教学中会合理的淡化数学背景，不会在繁琐的数学中过多纠缠，打破学生对课程的恐惧感概述（续）几个方面的内容复变函数相关知识微积分相关知识积分变换相关知识泛函分析相关知识概率论与随机过程相关知识矩阵论的相关知识信号与系统课程与复变函数之间的关系最为密切；拉斯变换()Fs、z变换()Fz等都是复变函数复变函数的定义复变函数的定义：设有一个复数zxjy的集合G，如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于几何G中的每一个复数z，就有一个或者几个相应的复数wujv对应，那么称复变数w是复变数z的函数，简称复变函数。复变函数中的解析函数解析是后面很多复变函数运算（例如求导，求留数等）的基础解析函数定义：如果复变函数()fz在0z的邻域内处处可导，那么称()fz在0z处解析；如果()fz在区域D内每一点解析，那么称()fz在区间D内解析，或者称()fz是D内的一个解析函数。留数与反变换留数定理是计算拉斯和z反变换的重要手段；实际上在数学上使用留数定理还有一个重要的前提：就是函数在区域内解析工程上的很多实例信号都满足解析条件但是是否有例外？解析函数的判定复变函数解析的充分毕要条件：函数()(,)(,)fzuxyivxy在定义域内1）(,)uxy和(,)vxy在任意一点zxjy可微；2）满足柯西－黎曼方程：uvxy，uvyx几个方面的内容复变函数相关知识微积分相关知识积分变换相关知识泛函分析相关知识概率论与随机过程相关知识微积分计算信号与系统中大量涉及微积分的计算卷积积分，变换，相关等教材中的实例多为指数函数但是其中也大量存在广义积分计算在工程中很多可以简化为定积分计算。但是也有一些不能例如：直流信号的傅里叶变换计算微分方程连续时间系统分析实际上就是一个求解微分方程的过程这部分内容与高等数学中的微分方程的求解内容非常接近，但是方程的形式没有高等数学中难只集中在线性常系数微分方程求解方法也不同：采用近代时域分解法几个方面的内容复变函数相关知识微积分相关知识积分变换相关知识泛函分析相关知识概率论与随机过程相关知识三大积分变换信号与系统中大部分内容实际是在讲积分变换：可以认为这是一个用工程的观点介绍积分变换的数学课，但是有两点不同：1、从工程角度（信号分解）介绍积分变换，容易理解2、没有过多地纠缠细节问题例如：存在性，唯一性，完备性……三大积分变换课程中用傅里叶变换将三个变换的主线串联在一起，成为一个整体。将拉斯变换作为傅里叶变换的一种扩充形式：子函数从jte扩展到)jte有人将此称为“广义傅里叶变换”（但是也有人对“广义”有不同的理解）将z变换从冲激取样信号的傅里叶变换（或者拉斯变换）导出但是历史上并没有这样的传承故事。三大积分变换PierreSimonLaplace，（1749－1827），法国数学家、天文学家、物理学家。1812年在其《概率论的解析理论》中提出了拉普拉斯变换；JeanBaptisteJosephFourier，（1768－1830），法国数学家、物理学家。1807年提出傅里叶变换，但是直到1822年在其著名的《热的解析》一书中才得以确认；DeMoivre（1667－1754），提出生成并应用于概率论，这就是z变换的原型；变换的性质和条件在教学中容易出问题的地方是涉及到奇异函数的一些傅里叶变换——特别是在使用傅里叶变换性质的时候，对性质的前提条件要引起足够的注意。奇异函数出现的地方：一些本不满足狄氏条件的函数，但是可以用奇异函数找到其傅氏变换例如：直流，阶跃，正弦但是这并不能保证所有的函数都有傅氏变换，或者基于奇异函数都可以找到傅里叶变换这样的表达式几个方面的内容复变函数相关知识微积分相关知识积分变换相关知识泛函分析相关知识概率论与随机过程相关知识泛函分析信号与系统课程中涉及到了很多泛函方面的知识。泛函分析的定义：“从变分法、微分方程、积分方程和理论物理研究中发展起来的数学分科，他综合运用分析、几何、代数等学科的观点和方法研究无限维拓扑向量空间的结构及其上的函数和算子”泛函分析信号中的冲激函数、广义函数、卷积积分、谱分析等都属于泛函研究的范畴但是在课程中对这个概念进行了弱化——打消学生的畏难情绪课程中有很多概念已经融入了工程中例如：能量信号——2L测度空间几个方面的内容复变函数相关知识微积分相关知识积分变换相关知识泛函分析相关知识概率论与随机过程相关知识概率论与随机过程(用的很少)信号与系统体系中，除了涉及确定性信号的分析与处理内容以外，还应该涉及到随机信号的分析与处理但是目前在很多专业，这部分内容已经转移到其他课程中学习了课程相关的内容只留下介绍信号分类的时候对确定和随机信号的讨论。结束语信号与系统课程中涉及到了很多的数学知识，其面之大，量之广，远远超过了其他的（电类）专业和基础课程，成为了信号与系统课程的特色以上的内容是我们在教学中对课程与数学之间的联系的一些体会，在这里起一个抛砖引玉的作用。其中不乏一些问题，敬请指正。