1.3.2函数的奇偶性(1)课件

考察下列两个函数：(1);(2).2()fxx()||fxx思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？xyo图（1）xyo图（2）观察下图，思考并讨论以下问题：思考2：相应的两个函数值对应表是如何体现函数图象关于y轴对称的？f(-3)=-9=f(3)f(-2)=-4=f(2)f(-1)=-1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=-x2f(x)=|x|xyo图（1）xyo图（2）x-3-2-10123y-9-4-10-1-4-9x-3-2-10123y3210123思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴对称，函数值有何特征，如何用文字语言表达？如何用数学符号表达？反之成立吗？思考4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？f(x)=f(-x)自变量互为相反数时函数值相等。1．偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．例如，函数都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.222()1,()1fxxfxx思考5:函数是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？2(),[1,2]fxxx偶函数的定义域关于原点对称yox-12考察下列两个函数：(1);(2).()fxx1()fxx思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？xyo图（1）xyo图（2）f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)观察两个图象，完成两个函数值对应表。x-3-2-10123y0x-3-2-10123y/1312121311231123思考2:这两个函数的函数值对应表是如何体现图象关于原点对称的？思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于坐标原点对称，用文字语言与数学符号语言各是怎么描述其函数值特征的？反之成立吗？思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？f(x)=-f(-x)自变量互为相反数时函数值也互为相反数。2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.3、奇、偶函数定义反过来也成立，即若f(x)为奇函数，则有f(-x)=-f(x)成立.其图象关于y轴对称。若f(x)为偶函数，则有f(-x)=f(x)成立.其图象关于原点对称。2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个条件是：对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．注意：1、函数的奇偶性是函数的整体性质，不能说一个函数在某个区间上具有奇偶性。例1．判断下列函数的奇偶性：4(1)();fxx5(2)();fxx1(3)();fxxx(4)()31fxx解：4()fxx(1)对于函数，其定义域为(-∞,+∞).∵对定义域内的每一个x，都有44()()().fxxxfx∴函数为偶函数。4()fxx例1．判断下列函数的奇偶性：4(1)();fxx求函数定义域，判断是否关于原点对称计算f(-x),判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.下结论关于原点对称解：5()fxx(2)对于函数，其定义域为(-∞,+∞).∵对定义域内的每一个x，都有55()()().fxxxfx∴函数为奇函数。5()fxx例1．判断下列函数的奇偶性：5(2)();fxx关于原点对称解：∵对定义域内的每一个x，都有11()()().fxxxfxxx(3)对于函数，其定义域为{x|x≠0}.1()fxxx∴函数为奇函数。1()fxxx例1．判断下列函数的奇偶性：1(3)();fxxx关于原点对称解：∵对定义域内的每一个x，都有例1．判断下列函数的奇偶性：(4)()31fxx(4)对于函数,其定义域为R.()31fxx∴函数既不是奇函数也不是偶函数。()31fxx()31fxx()()()()fxfxfxfx且关于原点对称总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；若不关于原点对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。②确定f(-x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数．课堂练习]3,1[,)()6(1)()5(0)()4(5)()3(1)()2(1)()1(22xxxfxxfxfxfxxfxxxf判断下列函数的奇偶性：利用函数的奇偶性补全函数的图象例2．如图是函数图像的一部分，你能根据的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？3()fxxx()fx解：∵对定义域内的每一个x，都有33()()()()().fxxxxxfx对于函数，其定义域为(-∞,+∞).3()fxxx∴函数为奇函数。3()fxxx奇函数的图象关于原点对称，因此可以画出函数的图象：3()fxxx练习P36第2题：已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.xy0解：画法略相等xy0相等练习P36第2题：已知函数y=g(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(－x)=-f(x)f(x)为奇函数如果都有f(－x)=f(x)f(x)为偶函数2.用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.(3)、得出结论。3.奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于y轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：a、简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性