函数的单调性(3)

四川省大竹中学徐天顺函数的单调性函数的单调性四川省大竹中学徐天顺四川省大竹中学徐天顺函数的单调性单调——单一的声调序曲单调对立是交响交响交错有抑扬单调只有一个音或升或降同方向四川省大竹中学徐天顺函数的单调性数与形,本是相倚依焉能分作两边飞数无形时少直觉形少数时难入微数形结合百般好隔离分家万事休切莫忘,几何代数统一体永远联系莫分离——华罗庚四川省大竹中学徐天顺函数的单调性A一、函数的单调性定义×如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说在这个区间上是增函数。一般的，设函数的定义域为I：)(xf如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说在这个区间上是减函数。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或是减函数，那么就是说函数y=f(x)在这个区间具有严格的单调性，这一区间叫做单调区间。注：（1）函数的单调性也叫函数的增减性（2）函数的单调性是对定义域内的某个子区间而言（3）x1,x2的三个特征：任意性、有大小、同区间四川省大竹中学徐天顺函数的单调性二、利用定义判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤:3.判断差的符号;4.定结论(若差0,则为增函数;若差0,则为减函数).2.作差并变形;)()(21xfxf1.从给定的区间任取,且假设;21xx12,xx1.必须在同一单调区间上;2.必须是任意的,不能用定值代替;3.必须设定它们的大小关系后,比较函数值的大小才有意义.四川省大竹中学徐天顺函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下：函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=f[g(x)]增减减增三、复合函数的单调性四、函数单调性的判定方法1.定义法:主要适用于抽象函数或已知函数.适用于具体函数.2.图像法:3.复合函数单调性的判定:4.和函数单调性的判定:四川省大竹中学徐天顺函数的单调性想一想：问题1：若函数y=f(x)对区间D上的任意两个实数x1、x2，，成立都有0)]()()[(2121xfxfxx能否确定函数y=f(x)在区间D上是增函数?为什么？呢？如果0)]()()[(2121xfxfxx答：能.0)]()()[(2121xfxfxx0)()(02121xfxfxx.0)()(02121xfxfxx或，)()(2121xfxfxx.)()(2121xfxfxx或，由单调函数定义得证.四川省大竹中学徐天顺函数的单调性若函数y=f(x)对区间D上的任意两个实数x1、x2，，成立都有0)]()()[(2121xfxfxx函数y=f(x)在区间D上是减函数.则（同理可证）四川省大竹中学徐天顺函数的单调性若函数y=f(x)对区间D上的任意两个实数x1、x2，，成立都有0)]()()[(2121xfxfxx函数y=f(x)在区间D上是增函数.则结论：若函数y=f(x)对区间D上的任意两个实数x1、x2，，成立都有0)]()()[(2121xfxfxx函数y=f(x)在区间D上是减函数.则四川省大竹中学徐天顺函数的单调性）上是增函数吗？，在（能断定函数有且外，如果能证得对任意：除了用问题问题baxfxxxfxfxxbaxx)(,0)()(,),,(,12121221211x2xxOy12xx)()(12xfxf2x1xxOy)(1xf)(2xf等价定义导数法四川省大竹中学徐天顺函数的单调性.0)()(,0),,(,),()(.1hxfhxfhbahxxbaxf有且是对任意的上是增函数的充要条件在区间xhxxOyh)()(xfhxfhxxxOy)(xf)(hxf四川省大竹中学徐天顺函数的单调性函数单调性定义的等价形式：函数。上是减，在增函数；上是，在上是减函数；，在）（）（上是增函数；，在）（）（）（，那么，，设][)(0)]()()[(][)(0)]()()[)(2(][)(0][)(01][212121211221122121baxfxfxfxxbaxfxfxfxxbaxfxxxfxfbaxfxxxfxfbaxx四川省大竹中学徐天顺函数的单调性1、求下列函数的单调区间xy2)1(12)2(xy),0(,2)3(xxxy|12|)4(xy|2||1|)5(xxy|2|)6(2xxy||2)7(2xxyxxxy2||)8(回顾四川省大竹中学徐天顺函数的单调性2、求下列函数的最值]1,0(2)1(xxxy_________]2,5[)(,4]5,2[),()()2(上的最大值为在则其最小值为上是增函数且在）（满足若函数xf，xfxfxf的值域求xxy21)3(四川省大竹中学徐天顺函数的单调性3.函数f(x)=2x2-mx+3,当x时是增函数,当x时是减函数,则f(1)等于A.-3B.13C.7D.由值m而定的常数4.已知f(x)在Ｒ上是减函数,a,bR,且a+b0,则有A.f(a)+f(b)-f(a)-f(b)B.f(a)+f(b)-f(a)-f(b)C.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)D.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)BD2,,2四川省大竹中学徐天顺函数的单调性一、利用函数单调性比较大小.得大小关系。与求是减函数，在、函数例)(f)aa(f),()x(f431012四川省大竹中学徐天顺函数的单调性的最值；，求函数若、已知函数例)x(f,x)(xx)x(f0213222的最值；，求函数若)x(f,x)(422的最值；，求函数若)x(f,x)(25213的最值；，求函数若)x(f,x)(23214二、利用函数单调性求最值.四川省大竹中学徐天顺函数的单调性总结最值的一般步骤是：上的在求二次函数n,mcbxax)x(f2、判断对称轴；)(1小者是最小值；中较大者是最大值，较，，，则属于、若)ab(f)n(f)m(fn,mabx)(222小者是最小值；中较大者是最大值，较，，则不属于、若)n(f)m(fn,mabx)(23四川省大竹中学徐天顺函数的单调性二、利用函数单调性求最值.的最值。求函数时，若、已知函数例)x(ft,tx,xx)x(f23232四川省大竹中学徐天顺函数的单调性。上是增函数，解不等式在，且的定义域为、已知函数例021004)x(f)x(f),()x(f),()x(f三、利用函数单调性解不等式.四川省大竹中学徐天顺函数的单调性。解不等式，上是增函数，满足在、函数例323805)x(f)x(f,)(f)y(f)x(f)xy(f),()x(f三、利用函数单调性解不等式.四川省大竹中学徐天顺函数的单调性四、复合函数单调区间的求法例6：设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2－x)的单调区间。上是单调递减的。），（－在，由复合函数单调性可知是单减的，上在又），（－），（而）上是增函数，，（在则由已知得解：令04)]([)2()0,4(2)(04622)(62)(,2)(xxtfxfxxxtxxxtttfxxt），的单减区间是（－04)2(xf四川省大竹中学徐天顺函数的单调性例7.已知f(x)=8+2x-x2,若g(x)=f(2-x2),试确定g(x)的单调区间.解:g(x)由f(t)=8+2t-t2及t=2-x2复合而得.∵y=f(t)=8+2t-t2=-(t-1)2+9,∴f(t)的递增区间是(-∞,1],递减区间是[1,+∞).当x(-∞,-1]时,t=2-x2是增函数,这时t(-∞,1],y=f(t)是增函数.故当x(-∞,-1]时,g(x)=f(2-x2)是增函数;当x[-1,0]时,t=2-x2是增函数,这时t[1,2],y=f(t)是减函数.故当x[-1,0]时,g(x)=f(2-x2)是减函数;当x[0,1]时,t=2-x2是减函数,这时t[1,2],y=f(t)是减函数.故当x[0,1]时,g(x)=f(2-x2)是增函数;当x[1,+∞)时,t=2-x2是减函数,这时t(-∞,1],y=f(t)是增函数.故当x[1,+∞)时,g(x)=f(2-x2)是减函数;综上所述g(x)的单调递增区间是(-∞,-1]与[0,1];单调递减区间是[-1,0]与[1,+∞).四川省大竹中学徐天顺函数的单调性._____)2(,)1,21(5)1()(.82的取值范围是那么上是增函数在区间如果函数例fxaxxf112)2(:af解,)1,21(上是增函数原函数在.212121的左侧重合或位于直线或与直线其对称轴xxax2,2121aa71122)2(f.)()1,21(),1,21()(:递增区间的子区间仅是实际上是的递增区间是不能把条件理解成注意xfxf四川省大竹中学徐天顺函数的单调性).()()(,)(},0|{)(.9yfxfyxfxfxxxf为增函数且的定义域为若函数例);()()(:)1(yfxfyxf证明.,2)1()(,1)3()2(的取值范围求且若aafaff).()()()()()()()1(:yfxfyxfyfyxfyyxfxf解四川省大竹中学徐天顺函数的单调性为增函数又)(xf2)1()(,1)3()2(afaff112)1()(afaf)3()3()1()(ffafaf)9()1(faaf91aa01,0aa又89a.891a四川省大竹中学徐天顺函数的单调性五、解不等式_____0)(,0)3()0,()()()()1(10的解集是则且增函数上是且在上的满足是、例xfxf，，xfxfRxf_____0)54(,),()()()()2(2的解集是增函数上是且在上满足是xxf，xfxfRxf四川省大竹中学徐天顺函数的单调性例12.已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且满足条件:①f(xy)=f(x)+f(y),②f(2)=1,③当x1时,f(x)0.(1)求证:f(x)满足f(-x)=f(x)；(2)讨论函数的单调性；(3)求不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集.(1)证:在①中令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0.令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0.再令y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x).∴f(-x)=f(x).先讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性,任取x1,x2,设x2x10,∴f(x2)f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴由(1)知,f(x)在(-∞,0)上是减函数.∵偶函数图象关于y轴对称,(2)解:在①中令y=,得:x1∴由③知f()0.x2x1∵1,x2x1f(1)=f(x)+f()f()=-f(x),x1x1则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f().x2x1x11四川省大竹中学徐天顺函数的单调性(3)解:∵f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤2,由①、②得2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4),1)若x(x-3)0,∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴由f[x(x-3)]≤f(4)得:2)若x(x-3)0,∵f(x)在(-∞,0)上为减函数,∴由f[x(x-3)]≤f(-4)得:x(x-3)0x(x-3)≤4x0或x3-1≤x≤4-1≤x0或3x≤