高二数学椭圆知识点整理

第1讲课题：椭圆课型：复习巩固上课时间：2013年10月3日教学目标：（1）了解圆锥曲线的来历；（2）理解椭圆的定义；（3）理解椭圆的两种标准方程；（4）掌握椭圆离心率的计算方法；（5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题；教学重点：椭圆方程、离心率；教学难点：与椭圆有关的参数取值问题；知识清单一、椭圆的定义：(1)椭圆的第一定义:平面内与两定点21FF、的距离和等于常数a2(大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆.说明：两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距c2.(2)椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e，当10e时，点的轨迹是椭圆.椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离.二、椭圆的数学表达式：0222121FFaaPFPF;.02,22121FFaaPFPFPM三、椭圆的标准方程：焦点在x轴:012222babyax；焦点在y轴:012222babxay.说明：a是长半轴长，b是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，且满足.222cba四、二元二次方程表示椭圆的充要条件方程BACBACByAx均不为零，且、、22表示椭圆的条件：上式化为122CByCAx，122BCyACx.所以，只有CBA、、同号，且BA时，方程表示椭圆；当BCAC时，椭圆的焦点在x轴上；当BCAC时，椭圆的焦点在y轴上.五、椭圆的几何性质（以012222babyax为例）1.范围:由标准方程可知，椭圆上点的坐标yx,都适合不等式1,12222byax，即byax,说明椭圆位于直线ax和by所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2.对称性:关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：.,0B,0B0,0,2121bbaAaA、、、4.长轴、短轴：21AA叫椭圆的长轴，aaAA,221是长半轴长；21BB叫椭圆的短轴，bbBB,221是短半轴长.5.离心率（1）椭圆焦距与长轴的比ace，10,0eca（2）22FOBRt,2222222OFOBFB，即222cba.这是椭圆的特征三角形，并且22cosBOF的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e接近于1时，c越接近于a，从而22cab越小，椭圆越扁；当e接近于0时，c越接近于0，从而22cab越大，椭圆越接近圆；当0e时，bac,0，两焦点重合，图形是圆.6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为ab22.7.设21FF、为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，当21FFP、、三点不在同一直线上时，21FFP、、构成了一个三角形——焦点三角形.依椭圆的定义知：cFFaPFPF2,22121.例题选讲一、选择题1．椭圆1422yx的离心率为（）A．23B．43C．22D．322．设p是椭圆2212516xy上的点．若12FF，是椭圆的两个焦点，则12PFPF等于（）A．4B．5C．8D．103．若焦点在x轴上的椭圆1222myx的离心率为21，则m=（）A．3B．23C．38D．324．已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．23B．6C．43D．125．如图，直线022:yxl过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为（）A．51B．52C．55D．5526．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A．32B．33C．22D．237．已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线043yx有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A．23B．62C．72D．24二、填空题：8．在ABC△中，90A，3tan4B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．9．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．10．在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点(4,0)A和(4,0)C，顶点B在椭圆192522yx上，则sinsinsinACB.11．椭圆4422yx长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．三、解答题12．已知椭圆06322mymx的一个焦点为（0，2）求m的值．13．已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程．14．已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围．15．已知1cossin22yx)0(表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围．16.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(A和)1,32(B两点的椭圆方程．《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1.函数的平均变化率：函数()fx在区间12[,]xx上的平均变化率为：2121()()fxfxxx。2.导数的定义：设函数()yfx在区间(,)ab上有定义，0(,)xab，若x无限趋近于0时，比值00()()fxxfxyxx无限趋近于一个常数A，则称函数()fx在0xx处可导，并称该常数A为函数()fx在0xx处的导数，记作0()fx。函数()fx在0xx处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。3.求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()yfxxfx；（2）求平均变化率：00()()fxxfxx；（3）取极限，当x无限趋近与0时，00()()fxxfxx无限趋近与一个常数A，则0()fxA.4.导数的几何意义：函数()fx在0xx处的导数就是曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()yfx在x0处的导数，即为曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()yyfxxx。当点00(,)Pxy不在()yfx上时，求经过点P的()yfx的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0xx。5.导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间t的函数()St，则()VSt表示瞬时速度，()avt表示瞬时加速度。二、导数的运算1.常见函数的导数：（1）()kxbk(k,b为常数)；（2）0C(C为常数)；（3）()1x；（4）2()2xx；（5）32()3xx；（6）211()xx；（7）1()2xx；（8）1()ααxαx（α为常数）；（9）()ln(0,1)xxaaaaa；（10）11(log)log(0,1)lnaaxeaaxxa；（11）()xxee；（12）1(ln)xx；（13）(sin)cosxx；（14）(cos)sinxx。2.函数的和、差、积、商的导数：（1）[()()]()()fxgxfxgx；（2）[()]()CfxCfx（C为常数）；（3）[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx;（4）2()()()()()[](()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx。3.简单复合函数的导数：若(),yfuuaxb，则xuxyyu，即xuyya。三、导数的应用1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数()yfx在区间(,)ab内可导，（1）如果恒()0fx，则函数()yfx在区间(,)ab上为增函数；（2）如果恒()0fx，则函数()yfx在区间(,)ab上为减函数；（3）如果恒()0fx，则函数()yfx在区间(,)ab上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数()yfx的定义域；②求导数()fx；③解不等式()0fx，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式()0fx，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数()yfx在区间(,)ab内可导，(1)如果函数()yfx在区间(,)ab上为增函数,则()0fx(其中使()0fx的x值不构成区间)；(2)如果函数()yfx在区间(,)ab上为减函数,则()0fx(其中使()0fx的x值不构成区间)；(3)如果函数()yfx在区间(,)ab上为常数函数,则()0fx恒成立。2.求函数的极值：设函数()yfx在0x及其附近有定义，如果对0x附近的所有的点都有0()()fxfx（或0()()fxfx），则称0()fx是函数()fx的极小值（或极大值）。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：（1）确定函数()fx的定义域；（2）求导数()fx；（3）求方程()0fx的全部实根，12nxxx，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，()fx和()fx值的变化情况：x1(,)x1x12(,)xx…nx(,)nx()fx正负0正负0正负()fx单调性单调性单调性（4）检查()fx的符号并由表格判断极值。3.求函数的最大值与最小值：如果函数()fx在定义域I内存在0x，使得对任意的xI，总有0()()fxfx，则称0()fx为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数()fx在区间[,]ab上的最大值和最小值的步骤：（1）求()fx在区间(,)ab上的极值；（2）将第一步中求得的极值与(),()fafb比较，得到()fx在区间[,]ab上的最大值与最小值。4.解决不等式的有关问题：（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。()()fxxA的值域是[,]ab时，不等式()0fx恒成立的充要条件是max()0fx，即0b；不等式()0fx恒成立的充要条件是min()0fx，即0a。()()fxxA的值域是(,)ab时，不等式()0fx恒成立的充要条件是0b；不等式()0fx恒成立的充要条件是0a。（2）证明不等式()0fx可转化为证明max()0fx，或利用函数()fx的单调性，转化为证明0()()0fxfx。5.导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。