2005年考研数学二真题解析

2005年考研数学二真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设xxy)sin1(，则xdy=dx.【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】方法一：xxy)sin1(=)sin1ln(xxe，于是]sin1cos)sin1[ln()sin1ln(xxxxeyxx，从而xdy=.)(dxdxy方法二：两边取对数，)sin1ln(lnxxy，对x求导，得xxxxyysin1cos)sin1ln(1，于是]sin1cos)sin1[ln()sin1(xxxxxyx，故xdy=.)(dxdxy（2）曲线xxy23)1(的斜渐近线方程为23xy.【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=,1)1(lim)(lim23xxxxxfxx23)1(lim)(lim2323xxxaxxfbxx，于是所求斜渐近线方程为.23xy（3）10221)2(xxxdx4.【分析】作三角代换求积分即可.【详解】令txsin，则10221)2(xxxdx202cos)sin2(cossindttttt=.4)arctan(coscos1cos20202tttd（4）微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为.91ln31xxxy.【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(xQyxPy的通解公式：])([)()(CdxexQeydxxPdxxP，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为xyxyln2，于是通解为]ln[1]ln[2222CxdxxxCdxexeydxxdxx=2191ln31xCxxx，由91)1(y得C=0，故所求解为.91ln31xxxy（5）当0x时，2)(kxx与xxxxcosarcsin1)(是等价无穷小，则k=43.【分析】题设相当于已知1)()(lim0xxx，由此确定k即可.【详解】由题设，200cosarcsin1lim)()(limkxxxxxxxx=)cosarcsin1(cos1arcsinlim20xxxkxxxxx=k21143cos1arcsinlim20kxxxxx，得.43k（6）设321,,均为3维列向量，记矩阵),,(321A，)93,42,(321321321B，如果1A，那么B2.【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有)93,42,(321321321B=941321111),,(321，于是有.221941321111AB二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数nnnxxf31lim)(，则f(x)在),(内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[C]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当1x时，11lim)(3nnnxxf；当1x时，111lim)(nnxf；当1x时，.)11(lim)(3133xxxxfnnn即.1,11,1,,1,)(33xxxxxxf可见f(x)仅在x=1时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，NM表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.[A]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF当F(x)为偶函数时，有)()(xFxF，于是)()1()(xFxF，即)()(xfxf，也即)()(xfxf，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则xdttf0)(为偶函数，从而xCdttfxF0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=221x,排除(D);故应选(A).（9）设函数y=y(x)由参数方程)1ln(,22tyttx确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A)32ln81.(B)32ln81.(C)32ln8.(D)32ln8.[A]【分析】先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解】当x=3时，有322tt，得3,1tt（舍去，此时y无意义），于是81221111ttttdxdy，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：)3(82lnxy，令y=0,得其与x轴交点的横坐标为：32ln81,故应(A).（10）设区域}0,0,4),{(22yxyxyxD，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则dyfxfyfbxfaD)()()()((A)ab.(B)2ab.(C))(ba.(D)2ba.[D]【分析】由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的.本题可考虑用轮换对称性.【详解】由轮换对称性，有dyfxfyfbxfaD)()()()(dxfyfxfbyfaD)()()()(=dxfyfxfbyfayfxfyfbxfaD])()()()()()()()([21=.2241222babadbaD应选(D).（11）设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),(,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A)2222yuxu.（B）2222yuxu.(C)222yuyxu.(D)222xuyxu.[B]【分析】先分别求出22xu、22yu、yxu2，再比较答案即可.【详解】因为)()()()(yxyxyxyxxu，)()()()(yxyxyxyxyu，于是)()()()(22yxyxyxyxxu，)()()()(2yxyxyxyxyxu，)()()()(22yxyxyxyxyu，可见有2222yuxu，应选(B).（12）设函数,11)(1xxexf则(A)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C)x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D)x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.[D]【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且)(lim0xfx，所以x=0为第二类间断点；0)(lim1xfx，1)(lim1xfx，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).（13）设21,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)(21A线性无关的充分必要条件是(A)01.(B)02.(C)01.(D)02.[B]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令0)(21211Akk，则022211211kkk，0)(2221121kkk.由于21,线性无关，于是有.0,022121kkk当02时，显然有0,021kk，此时1，)(21A线性无关；反过来，若1，)(21A线性无关，则必然有02(,否则，1与)(21A=11线性相关)，故应选(B).方法二：由于21212211121101],[],[)](,[A，可见1，)(21A线性无关的充要条件是.001221故应选(B).（14）设A为n（2n）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,**,BA分别为A,B的伴随矩阵，则(A)交换*A的第1列与第2列得*B.(B)交换*A的第1行与第2行得*B.(C)交换*A的第1列与第2列得*B.(D)交换*A的第1行与第2行得*B.[C]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵12E（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得BAE12，于是12*11212*12***12*)(EAEEAEAAEB，即*12*BEA,可见应选(C).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(f，求极限.)()()(lim000xxxdttxfxdttftx【分析】此类未定式极限，典型方法是用罗必塔法则，但分子分母求导前应先变形.【详解】由于000)())(()(xxxutxduufduufdttxf,于是xxxxxxxduufxdtttfdttfxdttxfxdttftx0000000)()()(lim)()()(lim=xxxxxfduufxxfxxfdttf000)()()()()(lim=xxxxxfduufdttf000)()()(lim=)()()(lim000xfxduufxdttfxxx=.21)0()0()0(fff（16）（本题满分11分）如图，1C和2C分别是)1(21xey和xey的图象，过点(0,1)的曲线3C是一单调增函数的图象.过2C上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线xl和yl.记21,CC与xl所围图形的面积为)(1xS；32,CC与yl所围图形的面积为).(2yS如果总有)()(21ySxS，求曲线3C的方程).(yx【分析】利用定积分的几何意义可确定面积)(),(21ySxS，再根据)()(21ySxS建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.【详解】如图，有xxttxedteexS01)1(21)]1(21[)(，ydtttyS12))((ln)(，由题设，得yxdtttxe1))((ln)1(21，而xey，于是ydtttyy1))((ln)1ln(21两边对y求导得)(ln)11(21yyy，故所求的函数关系为：.21ln)(yyyyx（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l与2l分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f