四川大学线性代数教材第六章第二节

第二节二次型化为标准形一、正交变换法，使得在正交矩阵是实对称矩阵，则必存若QA，nTAQQAQQ211的特征值。是其中An,,,21矩阵，既相似又合同于一对角也就是说，实对称矩阵A——化为标准形的一种方法因此，就有了将二次型正交变换法。)(),,,(21TTnAAAXXxxxfn元实二次型对于任一称为构成的线性替换由都存在正交矩阵(QYXQQ，个特征值。的为其中nAn,,,21定理1正交变换)，2222211nnyyy化为标准形将f用的正交变换。化为标准形，并写出所利用正交变换将设fxxxxxxxxxxxxf,8847),,(323121232221321，特征多项式为的矩阵为744412421f例解：),11()1(7444124212AE。，得到特征值为111321的基础解系，，求出对于二重特征值0)(1XAE000000422844422422AE.102,01121TTXX基础解系为,111),(),(,111122211TYYYYXXYXY正交化：令，，单位化：111310112121。的正交的单位特征向量的属于是1,21A,0006120111444410242101111AE，对于。的单位特征向量为的属于21161113A,62310613121613121321Q令是正交矩阵，则Q23222132111),,(yyyxxxfQYX化为标准形，于是作正交变换,11111AQQAQQT满足下的最大值与最小值。在条件求三元函数122443),,(222222zyxyzxzxyzyxzyxf，令411132121,AzyxX例解：,AXXfT则,72,72,4321的特征值为易得A化为作用下，，在正交变换于是存在正交矩阵fQYXQ212121)72()72(4zyx。其中111zyxY时，当1222zyx,1),(XX即),(),(QYQYXX又)()(QYQYTQYQYTTEYYTYYT),(YY下，求二次型条件于是，此问题转化为在1212121zyx,212121zyx212121)72()72(4zyxf的最大值与最小值。显然，212121)72()72()72(zyxf))(72(212121zyx72时取等号；当TTzyx)1,0,0(),,(111212121)72()72()72(zyxf同样，))(72(212121zyx72时取等号；当TTzyx)0,1,0(),,(111。综上，7272f例证明：。，都有维实向量对任意，证明：，令的特征值为的矩阵元实二次型设XcXfXncAAAAXXxxxfnTnnTTn},,,max{,,,)(),,,(212121作用下，二次型化为于是在正交变换QYX是实对称矩阵，因A，使得一定存在正交矩阵QnTAQQ12222211nnyyyf22221ncycycy)(22221nyyycYcYT,XcXT命题成立。二、配方法使用两个公式：在配方法中，我们主要))(()(222222babababababa配方法来完成。用拉格朗日求是可逆矩阵，那么可矩阵是正交矩阵，只要性替换，如果不要求所作的线在化二次型为标准形时性替换。标准形，并求出可逆线为用配方法化32222121321322),,(xxxxxxxxxf的项集中在一起，首先把含有1x,2有关的项理余下的与然后再用同样的做法处x例解：3222212132132)2(),,(xxxxxxxxxf32222222212132)2(xxxxxxxx32222213)(xxxxx)3()(),,(3222221321xxxxxxxxf)49493()(23233222221xxxxxxx2323222149)23()(xxxxx3332221123xyxxyxxy令形为因此，此二次型的标准3332232112323yxyyxyyyx，即32132110023102311yyyxxx替换，显然，这是可逆的线性23222132149),,(yyyxxxf，若在2323222132149)23()(),,(xxxxxxxxf333222112323xyxxyxxy令33322321132yxyyxyyyx替换，易知，这也是可逆线性此时二次型的标准形为232221321),,(yyyxxxf可见，二次型的标准形并不唯一。例解：化为标准形。将二次型3231213213),,(xxxxxxxxxf。，所以首先构造平方项由于式子中没有平方项，令33212211yxyyxyyx3213212221)(3)(yyyyyyyyf则换，易知，这是可逆线性替3222312142yyyyyy3223222314)(yyyyyy232322313)2()(yyyyyYX100011011即,BY,223332231133322311zyzzyzzyyzyyzyyz令ZY100210101即,3232221zzz则得到标准形。其中，100111311100210101100011011BCA,CZ这时可逆线性替换为BYX)(CZBZBC)(AZ)(),,,(21TTnAAAXXxxxfn元二次型对于任一化为，将可逆线性替换用配方法都可找到一个fCYX定理22222211nnydydyd推论都与对角矩阵合同。阶对称矩阵任意An练习的值。，求化为标准形可经正交变换设实二次型ayyyQYXxxaxxxxxxxxxf232221233222312132183344),,(,322232220),,(321aaAxxxf的矩阵为。和二重的特征值为且8)(1A解：,422242221aaAE又，时，秩易知，当18AEa的特征值，确实是时，且当Aa88。所以8a对角化，是实对称矩阵，一定可由A，秩123AE满足对应的特征矩阵的二重特征值则AEA1321A由,424322232220aaaA而,8424a于是。解得8a另解：,8)8(11