高中数学第一章定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用练习

1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用[A基础达标]1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于()A.－11(x－x3)dxB.－11(x3－x)dxC．201(x－x3)dxD．2－10(x－x3)dx解析：选C.由y＝xy＝x3求得直线y＝x与曲线y＝x3的交点分别为(－1，－1)，(1，1)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S＝201(x－x3)dx.2．已知自由落体运动的速度v＝gt(g是常数)，则做自由落体运动的物体从时刻t＝0到t＝t0所走的路程为()A.gt203B．gt20C.gt202D.gt206解析：选C.由定积分的物理意义，得所走的路程为s＝0t0gtdt＝12gt2t00＝12gt20.3．如图所示，阴影区域是由函数y＝cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是()A．1B．2C.π2D．π解析：选B.这个阴影区域的面积是S＝－π23π2cosxdx＝2.4.如图中阴影部分的面积是()A．e＋1eB．e＋1e－1C．e＋1e－2D．e－1e解析：选C.阴影部分的面积S＝01(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)|10＝e＋1e－2.5．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A.112B.14C.13D.712解析：选A.作出曲线y＝x2，y＝x3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组y＝x2，y＝x3得曲线y＝x2，y＝x3交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝01(x2－x3)dx＝13x3－14x4|10＝13－14＝112.6．若1N的力能使弹簧伸长2cm，则使弹簧伸长12cm时克服弹力所做的功为________．解析：弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F＝kx，求得k＝50，所以F(x)＝50x，所以W＝00.1250xdx＝25x2|0.120＝0.36(J)．答案：0.36J7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成的阴影部分的面积是________．解析：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，D(2，1)，设抛物线方程为y2＝2px(p0)，则p＝14，所以y＝±x2，所以S＝202x2dx＝2×23×x32|20＝83.答案：838．如图，已知点A0，14，点P(x0，y0)(x00)在曲线y＝x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则x0＝________．解析：由题意得0x0x2dx＝12×14×x0，即13x30＝18x0，解得x0＝64.答案：649．求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．解：法一：由y2＝8x，y＞0，x＋y－6＝0，解得交点坐标为(2，4)，如图，所以所求面积为A＝028xdx＋26(6－x)dx＝22×23x32|20＋6x－12x2|62＝423×232＋(36－18)－(12－2)＝403.法二：由y2＝8x，y＞0，x＋y－6＝0，解得交点坐标为(2，4)，如图，所以所求面积为A＝046－y－18y2dy＝6y－12y2－124y3|40＝24－8－124×43＝403.10．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2tm/s，到C点的速度为24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B站恰好停车，试求：(1)A，C间的距离；(2)B，D间的距离．解：(1)设A到C的时间为t1s，则1.2t1＝24，解得t1＝20.则AC＝0201.2tdt＝0.6t2|200＝240(m)．即A，C间的距离为240m.(2)设D到B的时间为t2s，则24－1.2t2＝0，解得t2＝20，则BD＝020(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)|200＝240(m)．即B，D间的距离为240m.[B能力提升]11．如图，求由曲线y＝－x2，4y＝－x2及直线y＝－1所围图形的面积为()A.23B.43C.38D.34解析：选B.由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍．法一：由y＝－x2，y＝－1得C(1，－1)．同理得D(2，－1)．则所求图形的面积S＝201[－x24－（－x2）]dx＋12[－x24－（－1）]dx＝2013x24dx－12x24dx＋121dx＝2x34|10－x312|21＋x|21＝43.法二：同法一得C(1，－1)，D(2，－1)．则所求图形的面积为S＝2－10(2－y－－y)dy＝2－10－ydy＝2×－23×(－y)32|0－1＝43.12．过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a0)所围成的图形面积为92a3，则直线l的方程为________．解析：设直线l的方程为y＝kx，由y＝kx，y＝x2－2ax得交点坐标为(0，0)，(2a＋k，2ak＋k2)，图形面积S＝02a＋k[kx－(x2－2ax)]dx＝k＋2a2x2－x33|2a＋k0＝（k＋2a）32－（k＋2a）33＝（k＋2a）36＝92a3，所以k＝a，所以直线l的方程为y＝ax.答案：y＝ax13．求正弦曲线y＝sinx与余弦曲线y＝cosx与直线x＝－3π4，x＝5π4围成的图形的面积．解：如图，画出y＝sinx与y＝cosx在－3π4，5π4上的图象，它们共有三个交点，分别为－3π4，－22，π4，22，5π4，－22.在－3π4，π4上，cosxsinx，在π4，5π4上，sinxcosx，所以所求的面积S＝－3π4π4(cosx－sinx)dx＋π45π4(sinx－cosx)dx＝2π45π4(sinx－cosx)dx＝－2(sinx＋cosx)5π4π4＝42.14．(选做题)如图，设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2，4)移动，记直线OP与曲线y＝x2所围成的图形的面积为S1，直线OP、直线x＝2与曲线y＝x2所围成的图形的面积为S2.(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．解：(1)设点P的横坐标为t(0t2)，则P点的坐标为(t，t2)，直线OP的方程为y＝tx.S1＝0t(tx－x2)dx＝16t3，S2＝t2(x2－tx)dx＝83－2t＋16t3.因为S1＝S2，所以t＝43.点P的坐标为43，169.(2)令S＝S1＋S2＝16t3＋83－2t＋16t3＝13t3－2t＋83，S′＝t2－2，令S′＝0得t2－2＝0.因为0t2，所以t＝2，因为0t2时，S′0；2t2时，S′0.所以当t＝2时，S1＋S2有最小值83－423，此时点P的坐标为(2，2)．