一元二次方程拔高训练题及答案

-1-一元二次方程拔高题精选一、学科内综合题（每小题8分，共48分）1．随着城市人口的不断增加，美化城市、改善人们的居住环境，已成为城市建设的一项重要内容，某城市到2006年要将该城市的绿地面积在2004年的基础上增加44%，同时，要求该城市到2006年人均绿地的占有量在2004年基础上增加21%，为保证实验这个目标，这两年该城市人口的平均增长率应控制在多少以内？（精确1%）2．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=10cm，点P从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C移动，问：经过多少秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1？3．已知关于x的方程（a－1）x2－（2a－3）x+a=0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是方程（a－1）x2－（2a－3）x+a=0的两个根，且x12+x22=9，求a的值．4．设m为整数，且4m40，方程x2－2（2m－3）x+4m2－14m+8=0有两个整数根，求m的值．5．一扇上部是半圆形下部是矩形的钢窗，它的高等于宽，如果窗的全部面积是257m2，求它的高和宽．（=227）-2-6．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天赢利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？OCBA7．如图，AO=OB=50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A以2cm/s速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，几秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2？三、应用题（每小题10分，共20分）8．在等腰△ABC中，a=3，b，c是x2+mx+2－12m=0的两个根，试求△ABC的周长．9．一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）10．问题：构造ax2+bx+c=0解题，已知：21a+1a－1=0，b4+b2－1=0，且1a≠b2，求21aba的值．-3-11．（6分）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均增长率是__________．12．（6分）解方程：222(1)6(1)11xxxx=7时，利用换元法将方程化为6y2－7y+2=0，则应设y=_________．13．（6分）已知关于x的方程x2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为________．14．（12分）已知：关于x的两个方程①2x2+（m+4）x+m－4=0与②mx2+（n－2）x+m－3=0，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．（1）求证：方程②两根的符号相同；（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n为整数，求m的最小整数值．15.设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x2+2（m－2）x+m2－3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若x12+x22=0，求m的值;（2）求22121211mxmxxx的最大值．-4-答案:一、1．解：设2004年城市的人口总量为m，绿地面积为n，这两年该城市人口的年平均增长率为x，由题意，得2(144%)(1)nmxnm=1+21%，整理，得（1+x）2=1.441.2,11.211.1x．∴x1=21239%,1111x（舍去）．答：这两年该城市人口的平均增长率应控制在9%以内．点拨：本题重点考查增长率的问题．2．分析：假设当P点移到E点时可满足本题的条件，那么就有△ABE为直角三角形，BE=PB，EA=PA，由题意，得PA2－8PB=1．解：设经过x秒后点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1，由题意，得BE=PB=1×x=xcm，AE=PA=42+x2．∴42+x2－8x=1．解得x1=3，x2=5．答：经过3秒或5秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1．点拨：本题应用了勾股定理和路程=速度×时间这个公式．3．解：（1）由b2－4ac≥0，得（2a－3）2－4a（a－1）≥0，a≤98．（2）∵x1，x2是方程（a－1）x2－（2a－3）x+a=0的两个根，∴x1+x2=231aa，x1x2=1aa．又∵x12+x22=9，∴（x1+x2）2－2x1x2=9．（231aa）2－2×1aa=9．整理，得7a2－8a=0，a（7a－8）=0．∴a1=0，a2=87（舍去）．点拨：本题主要应用根与系数的关系及根的情况．-5-4．分析：由△=b2－4ac，得△=4（2m－3）2－4（4m2－14m+8）=4（2m+1）．∵方程有两个整数根，∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数．∵4m40，∴92m+181，∴2m+1=16，25，36或49，∵m为整数，∴m=12或24．代入已知方程，得x=16，26或x=38，25．综上所述m为12，或24．点拨：本题应用的方程有整数根，b2－4ac必为一个完全平方数求解．5．分析：如图所示，半圆的直径=矩形的长=窗宽=窗高；矩形的宽=窗高－半圆半径；全窗面积=半圆面积+矩形面积．解：设半圆的半径为xm，则半圆的直径为2xm，半圆的面积为22xm2，矩形面积为x·2x=2x2（m2），∴根据题意，有2x2+2x2=257，∴25x2=25．∴x=1或x=－1（舍去），当x=1时，2x=2．答：窗的高和宽都是2m．点拨：本题借助图分析比较直观简单，另外本题中x=－1虽符合所列方程，但不符合题意，故舍去．6．解：设每千克水果应涨价x元，由题意，得（500－20x）（10+x）=6000，解得x1=5，x2=10．要使顾客得到实惠，应取x=5．点拨：本题与实际问题有关，应考虑题中要使顾客得到实惠这个条件得以应用．二、7．分析：本题可以分两种情况进行讨论．解：（1）当蚂蚁在AO上运动时，设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2．由题意，得12×3x×（50－2x）=450．整理，得x2－25x+150=0．解得x1=15，x2=10．（2）当蚂蚁在OB上运动时，设xs钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2．-6-由题意，得12×3x（2x－50）=450．整理，得x2－25x－150=0．解得x1=30，x2=－5（舍去）．答：15s，10s，30s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为450cm2．点拨：本题考查的是学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，同时要注意检验解的合理性．三、8．分析：在等腰三角形中，要分清楚腰与底边，本题应进行分类讨论．解：∵b、c是方程x2+mx+2－12m=0的两个根，∴b+c=－m，b·c=2－12m．（1）若a为腰，则b=a=3．c=－m－b，即3（－m－3）=2－12m．解得m=－225，∴b+c=225．∴周长Q=b+c+a=225+3=375．（2）若a为底，则b=c．∴△=m2－4（2－2m）=0．m1=－4，m2=2，∴b+c=4或b+c=－2（舍去）．∴周长Q=b+c+a=4+3=7．答：△ABC的周长为375或7．点拨：了解形与数结合分类讨论的思想．9．分析：通过引元，把不满意的总分用相关的字母的代数式表示，然后对代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值．解：由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s层的人乘电梯，而住在t层的人直接上楼，st，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意的总分减少．设电梯停在第x层，在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为：s=3[1+2+3+…+（33－x）]+3（1+2+…+y）+[1+2+…+（x－y－2）]=3(33)(34)3(1)(2)(1)222xxyyxyxy=2x2－（y+102）x+2y2+3y+1684-7-=2（x－1024y）2+18（15y2－180y+3068）=2（x－1024y）2+158（y－6）2+316≥316．又当x=27，y=6时，s=316，故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316．四、10．分析：模拟例子，求出a+b，ab的值，然后再求值．解：∵21a+1a－－1=0，∴（1a）2+1a－1=0．又∵b4+b2－1=0，∴（b2）2+b2－1=0．∴1a、b2是方程x2+x－1=0的两个根．∴1a+b2=－1，1a×b2=－1．∴21aba=b2+1a=－1．点拨：把1a、b2看成是方程x2+x－1=0的两个根是解本题的关键所在．五、11．20%分析：设月平均增长率为x，由400（1+10%）（1+x）2=633.6，解得x=0.2=20%．点拨：基数×（1+平均增长率）n=n次增长后到达的数．12．应设y=211xx分析：设y=211xx，∴原方程为2y+6y=7，∴6y2－7y+2=0．点拨：利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．13．2设一个根为x，则另一根为2x，由题意，得2x·x=m，2x+x=3，x=1．∴m=2．点拨：由两根之和为－ba，两根之积为ca可得方程．14．证明：（1）设方程①两个负实根分别为x1，x2．-8-则1212(4)42(4)0,0,40,0,20,40,2mmmxxxxm即解得m4．由方程②有两个实数根知m≠0，当m4时，3mm0，即方程②的两根之积为正，故方程②的两根符号相同．（2）20,2,23,32,mnmmm得22(2)392nmmm（n－2）2=92m（m－3）．经讨论，m=6时，（n－2）2=92×6×3=81．15.分析：方程有两个不相等的实根，∴△=4（m－2）2－4（m2－3m+3）=－4m+40，∴－1≤m1．∵x1+x2=－2（m－2），x1x2=m2－3m+3．∴（1）x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=4（m－2）2－2（m2－3m+3）=2m2－10m+10，∴m2－5m+5=0．解得m=5172．∵－1≤m1，∴m=5172．（2）22121211mxmxxx=22221221121212211212[(1)(1)][()](1)(1)1mxxxxmxxxxxxxxxxxx．∵x1+x2=－2（m－2），x1x2=m2－3m+3．∴上式可化为22121211mxmxxx=2（m2－3m+1）=2（m－32）2－52．∵－1≤m1，当m=－1时，最大值为10．