(简体)利率、外汇价格服从扩散-跳跃过程的零息债券评价模型

mt4.fx789.com是全球最快的MT4外汇黄金喊单平台，目前拥有半年500%利润以上收益高级操盘手3个,带客户自动交易赚钱mt4.fx789.com全球首创外汇喊单平台利率、外汇价格服从扩散-跳跃过程的零息债券评价模型徐保鹏11元培科技大学财务金融系摘要近年来不论是利率市场或者是外汇市场的商品价格皆发生价格跳跃现象，有鉴于此，不少文献提出扩散-跳跃过程修正评价模型。由于过去的文献假设价格过程为连续，换言之，无法精确捕捉当价格大幅向上或是向下跳跃时的情况，而扩散-跳跃过程，假设价格过程包括连续及不连续点，除了更加符合实证数据之外，理论上也更具一般化。本文建构在一个跨国经济体系之下，本国、外国的利率及两国之间的汇率皆为levy过程的模型，假设利率期限结构分别为HJM模型，应用平赌测度转换，推导出国外零息债券(ZCB)的价格。本文的贡献如下：推导出排除外汇风险的债券价格，适用于跨国发行者及投资者（如台湾）；得到风险中立下的债券过程，可应用于其它债券型衍生性商品，如可赎回型债券、路径相依型债券。关键词：扩散-跳跃过程、HJM模型、levy过程元培科技大学财金系专任讲师徐保鹏电话[phone]mt4.fx789.com是全球最快的MT4外汇黄金喊单平台，目前拥有半年500%利润以上收益高级操盘手3个,带客户自动交易赚钱mt4.fx789.com全球首创外汇喊单平台壹、前言自从Das(2002)证实利率过程有跳跃现象以来，大量的文献开始设定利率随机过程符合扩散-跳跃过程，扩散-跳跃过程最初是由Metorn(1976)所提出，利用假设资产价格符合CompoundPossion来修正价格过程中可能会出现的不连续点，由于价格过程同时包括连续及不连续点，扩散-跳跃过程较布朗运动(BM)更加一般化。Hardouvelis(1988)，Dwyer和Hafer(1989)，Naik和Lee(1990)，Heston(1995)及Das(1995)等验证加入跳跃考虑的过程的确相较传统的BM连续过程对于描述短期利率更为精确，Björk,etal.(1997)，Glasserman和kou(2003)及Shirakawa(1991)等论文假设利率服从扩散-跳跃过程，重新评价及分析。而这种随机过程中包含不连续点性质可用markedpointprocess来刻画（见Cont和Tankov(2004)），levyprocess是PaulLevy在1934所提出的一种markedpointprocess，因为levyprocess只要找到相对应的特征triplet，即可被决定，运算上相当便利，并且涵盖lognormaljump扩散、variancegamma等许多跳跃过程，相当ㄧ般化，因此目前大量研究皆采用levyprocess，利用levy过程重新评价商品的文献有Eberlein和Kluge(2006)，Eberlein和Raible(1999)。利率期限结构计有单因子模型、双因子模型、HJM模型等，每一个模型都有其优缺点(见Strickland(1996))，在Brace,etal.(1997)中提出由LIBOR所构成的随机过程，称为BGM模型，不但评价标的物是LIBOR等相关衍生性商品准确度高，且封闭解可以对应Black和Scholes公式，不过如果在加上利率为扩散-跳跃的假设之后，运算上更为复杂，且评价不易找到封闭解，计算效率又比较差(见(Takahashi(2006))，另外Eberlein和Ozkan(2005)假设远期利率为levy过程，找出如何从HJM模型出发，转换成BGM模型条件，建构出BGM模型，因此本文选定HJM做比较基础点。Jiang(1998)，Johnson和SchneeWeis(1994)，Jorion(1989)等利用实证数据发现除了利率之外，汇率也具有跳跃的现象，由于目前的衍生性商品相当全球化，汇率风险相对重要，尤其是台湾等非债券发行之大国，许多债券型基金，皆以美金或者欧元计价，加上汇率波动性又高，排除汇率风险的商品激增，也就是投资人不论投资何种商品收益皆以本国货币计价。Reiner(1992)在假设汇率过程为BM的情况之下，算初期出隐含汇率风险的商品价格，换言之，商品在定价时已经排除汇率风险，如同上述levy优于BM的原因，Koval(2005)、Huang和Hung(2005)等评价时都改采用levy过程。这一类的商品由于台湾在95年开放承做连结台湾股票市场外币衍生性金融商品的关系，评价的相关文献也逐渐增加(见黄玉娟和吴锦文(2007))，不过汇率过程多延续BM，国内有关利率的近期文献也开始采用跳跃模型，如黄博怡、邱哲修和林卓民(2005)，不过在债券或者是利率商品仍旧相当缺乏。本文的贡献如下：推导出排除汇率风险的债券价格封闭解，便于跨国发行者如台湾等发行债券型商品及风险控管，再推导的过程中得到风险中立测度下参数mt4.fx789.com是全球最快的MT4外汇黄金喊单平台，目前拥有半年500%利润以上收益高级操盘手3个,带客户自动交易赚钱mt4.fx789.com全球首创外汇喊单平台的转换及设定，提供利率过程的蒙地卡罗模拟，由于利率衍生性商品可能为美式或者是可赎回等，蒙地卡罗方法对于这一类型的商品评价，操作较为简易且运用层面广，藉此后续相关研究的参考。贰、模型设定假设存在一个于时段*0,T可连续交易的经济体，且经济体系中不确定性可以用机率空间*,,TP来描述，其中为样本空间，为-algebra，P为原始机率测度，令*0()ttT为所产生的filtration。相对应k维度的Levy过程*0()ttTL，描述如下：01exp()exp2ttssEiuLiubuCu(exp()1)()ksiuxiuxFdxds.(1)其中sF为k空间下的测度函数，使得当0s时(0)0sF且当2()xx时sF为可积分，u、sb为k中向量，sC为一个对称且凖正定dd矩阵，使得*20(()())kTsssbCxxFdxds且*0TsCdt，代表Euclideanvectornorm而可为任一矩阵的norm。公式(1)是Levy过程所对应的特征函数，我们利用特征函数来表述Levy过程是因为特征函数与Levy过程是一对一关系，换言之定义*0()ttTL的特征函数，相当于定义*0()ttTL。而满足公式(1)的*0()ttTL也可以用积分表之:000()(,)ktttLLtsssLbdscdWxdsdx(2)其中sW是k维度的布朗运动，L测度L跳跃幅度，(,)()LsdsdxFdxds是受补偿函数，sc是sC的长度开根号。定义特征函数s，而tiuLEe可表为特征函数的指数函数形式，如下：mt4.fx789.com是全球最快的MT4外汇黄金喊单平台，目前拥有半年500%利润以上收益高级操盘手3个,带客户自动交易赚钱mt4.fx789.com全球首创外汇喊单平台0exp()ttiuLsEeiuds.(3)也就是透过公式(2)可得1()exp()1()2ksssszzbzCzzxzxFdx(4)根据Huang和Hung的论文得知，如果sF可以用适当的f函数表示为()()sFdxfdx,则theLevy-Khintchineformula可以改写为1()exp()1()2ksssszzbzCzzxFdx.(5)接着利用(2)所定义的Levy过程建构一个跨国经济体，右上标为d表示国内，右上标为f表示国外，符号定义如下：(,)dftT表现在时间为t，时间T瞬间借/贷的国内远期利率，*0tTT(,)dptT到期日为T时支付1元的国内零息债券(ZCB)()drt时间t时国内瞬间无风险利率，0tT同理，国外的瞬间远期利率、瞬间短期利率、国外ZCB，分别为(,)fftT、()frt、(,)fptT，假设在P机率测度之下，国内外瞬间远期利率的动态行为遵循下列随机过程：00(,)(0,)(,)(,)ttddddsftTfTsTdssTdL,(6)00(,)(0,)(,)(,)ttffffsftTfTsTdssTdL.(7)其中(0,)fT与(0,)ffT皆为有界且在T为一给定的数值；同时(,)sT、(,)fsT及(,)sT、(,)fsT前者为空间中被给定之函数，后者为d空间中被给定之函数，而定义域为**,0,0,:sTTTsT。根据国内外债券与瞬间远期利率满足(,)exp((,))TtptTftsds的关系，在P机率测度之下ZCB过程可表为00(,)(0,)()exp((,)(,))ttsptTpTBtDsTdssTdL,mt4.fx789.com是全球最快的MT4外汇黄金喊单平台，目前拥有半年500%利润以上收益高级操盘手3个,带客户自动交易赚钱mt4.fx789.com全球首创外汇喊单平台其中(,)(,)TtDtTtsdsand(,)(,)TttTtsds，至于汇率过程假设为以下形式：*00(0)()()exp(()())()ttsSBtStmsdssdLBt以下我们先将所有随机过程由原始机率测度P转换至国内风险中立测度Q，换言之我们必须推导出满足转换至Q测度的漂移项。定理一：当(,)dDtT、()mt、(,)fDtT分别满足下列公式(8)、(9)、(10)，可使得经济体系内在原始机率测度P之下的所有资产过程转换至国内风险中立测度Q之下资产过程0001(,)(,)(,)(,)2tttdssDsTdsbsTdssTCsTds0exp((,))1()ktssTxFdxds.(8)0001()()()()2tttssmsdsbsdssCsds0exp(())1()ktssxFdxds.(9)200001(,)(,)(,)()(,)2ttttffffsssDsTdssTbdssTCsdssTcds()(,)01()fktsxsTxseeFdxds.(10)证明：定义0()exp()tBtrsds，不论国内外债券与瞬间远期利率满足(,)exp((,))TtptTftsds的关系且短期利率与瞬间远期利率具有()(,)rsfss关系。设(,)(,)()ptTZtTBt，则当(,)(,)dZtTZtT的漂移项为零时，即为转换至国内风险中立测度的条件，而此时(8)要被满足，同理可得汇率及国外债券价格必须满足的条件分别为(9)、(10)。更详细的证明见附录。故此在国内风险中立测度之下的国内ZCB可以表成mt4.fx789.com是全球最快的MT4外汇黄金喊单平台，目前拥有半年500%利润以上收益高级操盘手3个,带客户自动交易赚钱mt4.fx789.com全球首创外汇喊单平台00(,)(0,)()exp((,)(,))ttdQsptTpTBtDsTdssTdL在Q测度之下的汇率过程可表为*00(0)()()exp(()())()ttQsSBtStmsdssdLBt在Q测度之下的国外ZCB表为00(,)(0,)()exp((,)(,))ttfffffQsptTpTBtDsTdssTdL(11)引理一：假设00(,)(0,)exp((()(,))(,))ttfffffQsptTpTrtDsTdssTdL则相对应的短期利率过程为2200()(0,)(,)(,)ttffffQsrtftDstdsstdL，其中2表示对函数的第二个变量偏微分，也就是(,)fDstt。证明：因为远期利率与债券价格具有(,)