高中数学-课件1.3-函数的基本性质-新人教A版必修1

1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值1.观察函数y＝x2的图象可见，当x≥0时，图象是上升的，称此函数在[0，＋∞)上为增函数，当x≤0时，图象是下降的，称此函数在(－∞，0]上为函数．2.一般地，设f(x)的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有，那么就说f(x)在这个区间D上是增函数．,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有．那么就说f(x)在这个区间D上为减函数．减f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)如果函数y＝f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D上具有．区间D叫做函数f(x)的单调区间．(1)如图，已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象(包括端点)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数．单调性[解析]函数f(x)的单调区间有[－2，－1]，[－1，0]，[0,1]，[1,2]．,在区间[－2，－1]，[0,1]上是减函数．在区间[－1,0]，[1,2]上是增函数．函数g(x)的单调区间有[－3，－1.5]，[－1.5，1.5]，[1.5,3]．在区间[－3，－1.5]，[1.5,3]上是减函数，在区间[－1.5,1.5]上是增函数．(2)我们已知反比例函数y＝的图象如图，它在区间(－∞，0)和(0，＋∞)都是减函数，能否说它在定义域上是减函数？为什么？[解析]不能．显然x1＝－1，x2＝1时，满足x1x2，但y1＝－1，y2＝1，y1y2不成立．3．用单调性定义证明：(1)f(x)＝2x＋1在R上为增函数．(2)f(x)＝在(－∞，0)上为减函数．并概括用定义证明函数单调性的步骤．(1)设x1、x2∈R，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(2x1＋1)－(2x2＋1)＝2(x1－x2)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．(2)设x1x20，则f(x1)－f(x2)＝2x1－2x2＝2(x2－x1)x1x20，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数．总结用单调性的定义证明函数的单调性的步骤为：第一步：取值．．．．即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；第二步：作差变形．．．．．．即作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第三步：定号．．．．确定差f(x1)－f(x2)的符号．当符号不确定时，分区间进行讨论；第四步：下结论．．．，根据符号作出结论．即“取值——作差变形——定号——下结论”这四个步骤．本节重点：函数单调性的概念及证明．本节难点：用定义证明函数的单调性和求函数的单调区间．1．函数的单调性是对某个区间而言的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调．因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以，写单调区间时，一般写成闭区间．但必须注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点．2．若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减．3．对增函数的判断，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0或f(x1)－f(x2)x1－x2＞0.对减函数的判断，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0或f(x1)－f(x2)x1－x2＜0.4．熟悉常见的一些单调性结论(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当k0时单调递增，当k0时单调递减．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a0时，在－∞，－b2a上单调递减，在－b2a，＋∞上单调递增，a0时相反．(3)y＝kx(k≠0)，当k0时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减．当k0时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递增．(4)若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增．②－f(x)单调递减，③1f(x)单调递减(f(x)≠0)．5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商f(x1)f(x2)与1比较．[例1]据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．[解析]由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，减区间为[－1,0)、(0,1].[例2]求证函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．[分析]通过对f(x1)－f(x2)符号的判定而得结论．[解析]设x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(－x31＋1)－(－x32＋1)＝x32－x31＝(x2－x1)(x21＋x1x2＋x22)∵x1＜x2，∴x2－x1＞0又∵x21＋x1x2＋x22＝(x1＋x22)2＋34x22且(x1＋x22)2≥0与34x22≥0中两等号不能同时取得(否则x1＝x2＝0与x1＜x2矛盾)，∴x21＋x1x2＋x22＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，又∵x1x2，∴f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数．总结评述：在判定x21＋x1x2＋x22＞0时采用了配方的技巧，这是处理二次函数值域问题的常用方法．用定义证明函数的单调性时，若f(x)是“多项式”形式，一般作差后合并“同类项”；如果f(x)是分式形式，作差后通分；如果f(x)是根式，一般作差后先分子有理化．(1)证明f(x)＝－x2＋4x在(－∞，2]上为增函数．(2)证明f(x)＝2x＋1在－12，＋∞上为增函数．(3)证明函数y＝2xx＋1在(－1，＋∞)上为增函数．[解析](1)设x1x2≤2，则f(x1)－f(x2)＝(－x21＋4x1)－(－x22＋4x2)＝(x2－x1)(x1＋x2－4)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在(－∞，2]上为增函数．(2)设x1x2≥－12，则f(x1)－f(x2)＝2x1＋1－2x2＋1＝2(x1－x2)2x1＋1＋2x2＋10.∴f(x1)f(x2)，∴f(x)＝2x＋1在[－12，＋∞)上为增函数．(3)设x1x2－1，y1－y2＝2x1x1＋1－2x2x2＋1＝2(x1－x2)(x1＋1)(x2＋1)0，∴y1y2，∴函数y＝2xx＋1在(－1，＋∞)上为增函数．[例3]已知y＝f(x)与y＝g(x)在区间A上均为增函数，判断下列函数在区间A上的增减性．(1)y＝－2f(x)(2)y＝f(x)＋g(x)[分析]利用函数单调性的定义判断[解析](1)对任意x1，x2∈A，设x1＜x2，∵f(x)为增函数，∴f(x1)－f(x2)＜0∴－2f(x2)－[－2f(x1)]＝2f(x1)－2f(x2)＝2[f(x1)－f(x2)]＜0∴－2f(x2)＜－2f(x1)，∴y＝－2f(x)是减函数(2)在区间A内任取两个值x1、x2，设x1＜x2，∵y＝f(x)，y＝g(x)为增函数∴f(x2)－f(x1)＞0g(x2)－g(x1)＞0∴[f(x2)＋g(x2)]－[f(x1)＋g(x1)]＝[f(x2)－f(x1)]＋[g(x2)－g(x1)]＞0∴f(x2)＋g(x2)＞f(x1)＋g(x1)∴y＝f(x)＋g(x)是增函数已知y＝f(x)在区间A上为增函数，且恒有y0，求证函数y＝1f(x)在区间A上是减函数．[证明]设x1、x2∈A且x1x2，由条件知，f(x1)f(x2)，∴y1－y2＝1f(x1)－1f(x2)＝f(x2)－f(x1)f(x1)f(x2)0，∴y1y2，∴y＝1f(x)在A上为减函数．*[例4]讨论函数f(x)＝axx2－1在x∈(－1,1)上的单调性，其中a为非零常数．[分析]由定义作差f(x1)－f(x2)，通过a的不同取值对差的符号的影响进行讨论．[解析]设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝a(x1x2＋1)(x2－x1)(x21－1)(x22－1)因为－1＜x1＜x2＜1，所以x1x2＋1＞0，x2－x1＞0，x21－1＜0，x22－1＜0.当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，f(x)为减函数．当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，f(x)为增函数．已知函数f(x)＝－x2＋(3a－1)x＋1－2a在区间(－∞，4]上是增函数，求实数a的取值范围．[分析]二次函数的二次项系数小于0，其图象开口向下，因而只要区间(－∞，4]在对称轴的左侧，即可满足题设要求．[解析]f(x)＝－x2＋(3a－1)x＋1－2a＝－(x－3a－12)2＋1－2a＋(3a－1)24，此二次函数图象的对称轴为x＝3a－12，其二次项系数小于0，因此在区间(－∞，3a－12]上，f(x)是单调递增的．若使f(x)在(－∞，4]上单调递增，必须满足3a－12≥4，所以a≥3.[点评]解决此类问题，首先搞清二次项系数的正负，确定开口方向，然后，考虑单调区间应在对称轴左侧还是右侧．*[例5]画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．[分析]函数解析式中含有绝对值号，因而需先去掉绝对值号写成分段函数形式，然后，逐段画图．根据图象指出单调区间．[解析]y＝－x2＋2|x|＋3函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．画出下列函数的图象，并指出它们的单调区间：(1)y＝|x|－1；(2)y＝|x2－1|.[解析](1)如图(1)，函数的单调减区间是(－∞，0]，单调增区间是[0，＋∞)．函数的图象如图(2)所示．函数y＝|x2－1|在(－∞，－1]，[0,1]上都是减函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上都是增函数．[例6]若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．[错解]函数f(x)图象的对称轴为x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.[辨析]函数f(x)在区间A上单调减和函数f(x)的单调减区间是A不同．[正解]因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，所以有1－a＝4，即a＝－3.一、选择题1．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是()A．(－∞，13)B．(13，＋∞)C．(－∞，13]D．[13，＋∞)[答案]B[解析]f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞，故选B.2．已知函数f(x)＝8＋2x－x2，那么下列结论正确的是()A．f(x)在(－∞，1]上是减函数B．f(x)在(－∞，1]上是增函数C．f(x)在[－1，＋∞)上是减函数D．f(x)在[－1，＋∞)上是增函数[答案]B[解析]由二次函数f(x)＝8＋2x－x2＝－(x－1)2＋9的图象知B对，故选B.3．函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋5)的一个递增区间是()A．(3,8)B．(－7，－2)C．(－2，－3)D．(0,5)[答案]B[解析]由－2＜x＋5＜3得－7＜x＜－2，选B.[点评]y＝f(x＋5)可看作函数y＝f(x)的图象向左平移5个单位得到的．故选B.4．函数f(x)＝|x－a|在(－∞，2]上单调递减，则a的取值范围是()A．a≥2B．a≥1C．a2D．a1[答案]A[解析]f(x)＝|x－a|的